Уравнения (14) и (19) образуют систему уравнений, описывающую
флуктуации температуры
T
(
t
)
плоской поверхности, в теплопроводя-
щей среде, заполняющей полупространство.
Отметим, что при изучении внутреннего трения в одномерных
упругих системах, которое считается результатом рассеяния волн на
случайных неоднородностях среды, также возникают выражения, по-
добные (13) и (19) (см. работы [8, 9]).
Уравнение Вольтерра второго рода.
Система уравнений (1) и
(13) (также как (14) и (19)) может быть записана в виде интегрального
уравнения Вольтерра второго рода [10]:
Z
(
t
) +
A
t
Z
0
Z
(
τ
)
dτ
√
t
−
τ
=
ξ
(
t
)
,
(20)
где для первой задачи
Z
(
t
) =
dV
(
t
)
dt
;
A
=
η
M
√
πν
;
ξ
(
t
) =
ξ
V
(
t
)
M
,
(21)
а для второй —
Z
(
t
) =
dT
(
t
)
dt
, A
=
κ
C
√
πχ
, ξ
(
t
) =
ξ
T
(
t
)
C
.
(22)
Очевидно, что процесс
Z
(
t
)
, определяемый решением интегрального
уравнения (20), представляет собой немарковский случайный процесс.
Решение интегрального уравнения (20) имеет вид
Z
(
t
) =
ξ
(
t
)
−
t
Z
0
R
(
t, τ
)
ξ
(
τ
)
dτ ,
(23)
где резольвента [11]
R
(
t, τ
) =
1
t
−
τ
∞
X
k
=1
(
−
1)
k
+1
r
k
(
t
−
τ
)
k
2
, r
k
=
A
k
π
k
2
Γ
k
2
.
(24)
Здесь
Γ(
x
)
— гамма-функция. Расчетный график функции
R
(
t
−
τ
)
изображен на рис. 3. Видно, что с возрастанием разности
t
−
τ
наблю-
дается резкое уменьшение значения функции
R
(
t
−
τ
)
.
Характеристическая функция.
Используя метод описания немар-
ковских случайных процессов, изложенный в работе [6], для одномер-
ной и
L
-мерной характеристических функций случайного процесса
Z
(
t
)
, задаваемого линейным интегральным соотношением (23), полу-
чим:
66
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 3
