Рис. 2. Теплопроводность в полупро-
странстве
Таким образом, описание флук-
туаций скорости плоской поверх-
ности в вязкой жидкости, заполня-
ющей полупространство, сводится
к решению системы уравнений (1)
и (13). Так как уравнение (13) име-
ет вид интегрального уравнения, то
случайный процесс
F
(
t
)
, а следо-
вательно, и процесс
V
(
t
)
предста-
вляют собой немарковские случай-
ные процессы.
Теплопроводность в полупро-
странстве.
Покажем, что описание
теплопроводности в полупростран-
стве (
x >
0)
в случае, когда температура плоской поверхности (при
x
= 0)
является заданной функцией времени
T
(
t
)
(рис. 2), сводит-
ся к задаче, аналогичной рассмотренной выше. Система уравнений,
описывающая изменение температуры
T
(
t
)
плоской поверхности и
температуры среды
˜
T
(
x, t
)
при
x >
0
, в одномерном случае имеет вид
C
dT
dt
=
Q
(
t
) +
ξ
T
(
t
)
,
(14)
∂
˜
T
∂t
=
χ
∂
2
˜
T
∂x
2
.
(15)
где
C
— теплоемкость единицы площади стенки,
Q
(
t
)
— плотность
потока теплоты от плоской поверхности к среде, заполняющей полу-
пространство,
ξ
T
(
t
)
—
δ
-коррелированный случайный процесс,
χ
—
температуропроводность.
Добавление условий
Q
(
t
) =
κ
∂
˜
T
(
x, t
)
∂x
x
=0
,
(16)
˜
T
(
x,
0) = 0
,
(17)
˜
T
(0
, t
) =
T
(
t
)
,
(18)
где
κ
— коэффициент теплопроводности, делает эту задачу аналогич-
ной рассмотренной выше.
Проведение операций, аналогичных выполненным в задаче для
вязкого трения, дает
Q
(
t
) =
−
κ
√
πχ
t
Z
0
1
√
t
−
τ
dT
(
τ
)
dτ
dτ.
(19)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 3
65
