Теперь, учитывая формулу (8), вычислим математическое ожида-
ние суммарных страховых выплат в
i
-м виде страхования:
m
Σ
,i
=
∞
Z
0
xdR
i
(
x N
i
) =
∞
X
k
=1
p
(
i
)
k
(
N
i
)
∞
Z
0
xdF
(
k
)
i
(
x
)
,
(14)
так как в силу известного свойства интеграла Стилтьеса
Z
Δ
f
(
x
)
dh
(
x
−
a
) =
f
(
a
)
,
где
f
(
x
)
— непрерывная функция,
a
— точка внутри интервала инте-
грирования
Δ
, слагаемое, содержащее интеграл
∞
Z
0
xdh
(
x
)
, обращается
в нуль.
Учитывая равенство (8), из соотношения (14) получим следующее
выражение:
m
Σ
,i
=
m
i
0
∞
X
k
=1
p
(
i
)
k
(
N
i
)
k.
(15)
Аналогично определяется момент второго порядка:
M
(2)
Σ
,i
=
∞
Z
0
x
2
dR
i
(
x N
i
) =
=
∞
X
k
=1
p
(
i
)
k
(
N
i
)
∞
Z
0
x
2
dF
(
k
)
i
(
x
) =
∞
X
k
=1
p
(
i
)
k
(
N
i
)[
k
D
i
0
+ (
km
i
0
)
2
] =
=
D
i
0
∞
X
k
=1
p
(
i
)
k
(
N
i
)
k
+
m
2
i
0
∞
X
k
=1
k
2
p
(
i
)
k
(
N
i
)
.
(16)
Используя соотношение (10), с помощью формул (15) и (16) най-
дем выражение дисперсии суммарных страховых выплат в
i
-м виде
страхования:
D
{
X
i
}
=
D
Σ
,i
=
M
(2)
Σ
,i
−
m
2
Σ
,i
=
=
D
i
0
∞
X
k
=1
kp
(
i
)
k
(
N
i
) +
m
2
i
0
∞
X
k
=1
k
2
p
(
i
)
k
(
N
i
)
−
m
2
i
0
∞
X
k
=1
kp
(
i
)
k
(
N
i
)
2
.
(17)
Формулу (17) преобразуем, предварительно вычислив суммы
∞
X
k
=1
kp
(
i
)
k
(
N
i
)
,
∞
X
k
=1
k
2
p
(
i
)
k
(
N
i
)
.
100
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 1
