димо и достаточно существование такого значения
μ
, при котором
точка
(
N , μ
)
является седловой точкой функции Лагранжа
ϕ
(
~N, μ
) =
−
m
X
i
=1
a
i
N
i
+
μ
m
X
i
=1
b
i
N
i
−
V
0
,
(27)
т. е. для пары
N
,
μ
выполняются неравенства
ϕ
(
~N, μ
)
≤
ϕ
(
~N , μ
)
≤
ϕ
(
~N , μ
)
.
(28)
Если бы значение
μ
в функции Лагранжа (27) было известно, то
максимизация этой функции по
N
i
,
i
= 1
,
2
, . . . , m
, в силу ее сепа-
рабельности не представляла бы сложностей. Поскольку значение
μ
не известно, можно осуществить максимизацию формы Лагранжа (27)
для некоторого семейства значений
μ
, т. е. решить задачу параметри-
ческого программирования, рассматривая
μ
как параметр. С учетом
сепарабельности формы Лагранжа по
N
i
и наложенных на
N
i
ограни-
чений имеем
max
N
i
−
m
X
i
=1
a
i
N
i
+
μ
m
X
i
=1
b
i
N
i
−
V
0
8
μ
;
N
i
min
≤
N
i
≤
N
i
max
=
= max
N
i
min
≤
N
i
≤
N
i
max
m
X
i
=1
(
−
a
i
+
μb
i
)
N
i
−
μV
0
, i
= 1
,
2
, . . . , m.
(29)
Максимизация каждого из слагаемых по
N
i
достигается при следую-
щих значениях
˜
N
i
:
˜
N
i
(
μ
) =
N
i
min
,
если
−
a
i
+
μb
i
<
0
,
N
i
max
,
если
−
a
i
+
μb
i
≥
0
.
(30)
Чтобы найти оптимальное значение
μ
, подставим формулы (29) в
выражение ограничительного условия, заменив в нем знак нестрогого
неравенства на знак равенства, т. е.
m
X
i
=1
b
i
˜
N
i
(
μ
) =
V
0
.
(31)
Рассматривая соотношение (31) как уравнение относительно
μ
,
найдем его корень
μ
=
μ
, а затем подставим найденное значение
в формулы (30), которые при
μ
=
μ
дадут оптимальные значения
управляющих переменных
N
i
,
i
= 1
,
2
, . . . , m
.
Для завершения описания вычислительного алгоритма необходимо
указать область значений
μ
, для которых решается параметрическая
задача (29). Границы изменения
μ
можно найти, анализируя условия в
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 1
103
