Решение находится численно при минимизации разности угла
ϑ
0
и
эффективного угла
ϑ
eff
0
,
при котором функция
Δ
L
e
(
ϑ
0
)
имеет максимум
,
a
число
N
—
минимально необходимое для обеспечения требуемой раз
-
ности хода
.
Минимальность
N
следует из требования снижения потерь
и влияния неидеальности оптического диска при переотражениях лу
-
чей
.
Сначала фиксируют
p
и выбирают
k
,
затем по формуле
(6)
опреде
-
ляют
ϑ
2
и из решения дисперсионного уравнения
[1]
находят
ϑ
0
для
заданных
n
2
и
ω
.
Расчеты повторяют для всех наборов
(
p, k
)
,
удовле
-
творяющих условию
N
opt
2
(
N
min
, N
max
)
,
где
N
min
определяется точ
-
ностными требованиями
,
а
N
max
—
из условия ограничения влияния
дисперсии
,
расходимости и т
.
п
.
Окончательно выбирают те значения
(
p, k
)
,
при которых минимальна разность
|
Δ
L
e
−
Δ
L
max
e
|
.
Отметим
,
что проблема оптимизации числа отражений на цилин
-
дрической поверхности связана с особенностями представления на
плоскости простых чисел
.
Очевидно
,
что выбранному значению
(
p, k
)
соответствует одно чи
-
сло переотражений
N
луча в диске
.
На плоскости это будет соответ
-
ствовать номограмме
N
(
p, k
)
.
Поскольку для каждого выбранного
p
и
спектра возможных значений
k
,
вообще говоря
,
существует несколько
значений
m
,
числа
N
будут иметь тенденцию к повторению при уве
-
личении
p
,
в результате чего номограмма будет иметь некоторые свой
-
ства симметрии
.
Повторяемость значений
N
при увеличении
p
будет
означать
,
что существует некоторое минимальное
p
,
при котором мо
-
жет быть реализовано данное
N
.
Однако
,
так как потребность в уве
-
личении
p
связана с увеличением необходимого числа переотражений
N
,
точки номограммы
,
в которых число
N
возникает повторно
,
долж
-
ны быть исключены
.
В связи с этим интерес представляет возможность
геометрического отображения точек номограммы с повторяющимися
значениями
N
на диаграмме
k
=
f
(
p
)
.
На рис
. 5
представлены кривые
,
проходящие через геометриче
-
ские места точек
,
соответствующих простым числам
N
на диаграмме
k
=
f
(
p
)
.
Точке пересечения кривой и прямой соответствует число пе
-
реотражений
N
,
указанное рядом с прямой линией
.
При
p >
18
кривые
имеют бесконечную протяженность
.
При
p
= 18
происходит обраще
-
ние направления ветвей семейств кривых
.
При
p <
18
кривые быстро
вырождаются в ряд точек
.
Введем угол
ϕ
,
являющийся угловой мерой наклона прямой
,
выхо
-
дящей из начала координат и проходящей через точку
(
k, p
)
на гисто
-
грамме
k
=
f
(
p
)
.
Тогда формула
(6)
будет иметь вид
tg
ϕ
=
k
p
=
1
2
−
ϑ
2
π
.
(7)
12
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2005.
№
2
