Таким образом
,
из соотношений
(7)
и
(10)
следует
,
что
ˆ
x
является
оценкой максимального правдоподобия для матрицы
x
[10]
тогда толь
-
ко тогда
,
когда
Φ
3
≡
0
,
или
,
что то же самое
,
когда
(
da
)
т
d
(
Y
−
a
ˆ
x
) +
b
т
b
(
Z
−
ˆ
x
) = Θ
2
n,p
.
(11)
Уравнение
(11)
позволяет представить оценку максимального прав
-
доподобия
ˆ
x
в явном виде
:
ˆ
x
=
s
−
1
[(
da
)
т
dY
+
b
т
bZ
]
,
s
4
= (
da
)
т
da
+
b
т
b
≡
q
Θ
n,n
Θ
n,n
Q
2
M
2
n
×
2
n
(
R
)
,
q
4
= (
DA
)
т
DA
+
B
т
B
2
M
n
×
n
(
R
)
,
Q
4
= (
DA
)
т
DA
+
D
т
D
2
M
n
×
n
(
R
)
.
(12)
Согласно
(12)
оценка максимального правдоподобия
ˆ
x
существует
тогда и только тогда
,
когда существует
s
−
1
,
т
.
е
.
когда
rank
q
=
n
= rank
Q.
(13)
Заметим
,
что условие идентифицируемости типа
(13)
приведено в
[2]
и получено при анализе линейных моделей с сосредоточенными па
-
раметрами при отсутствии априорной информации о начальном состо
-
янии с использованием методов калмановской фильтрации
.
Предположим
,
что условия
(13)
выполнены
.
В этом случае оценка
максимального правдоподобия
ˆ
x
существует и опеределена равенства
-
ми
(12).
Воспользовавшись этим фактом
,
свойствами псевдообратных
матриц
[12]
и уравнением
(11),
преобразуем функционал
Φ
1
,
опреде
-
ленный в
(10),
к следующему виду
:
Φ
1
≡
tr (
Y
−
a
ˆ
x
)(
Y
−
a
ˆ
x
)
т
d
т
d
+
+ [
b
т
b
(
Z
−
ˆ
x
)][
b
т
b
(
Z
−
ˆ
x
)]
т
(
b
т
b
)
+
≡
tr (
Y
−
a
ˆ
x
)(
Y
−
a
ˆ
x
)
т
d
т
d
+
+ [(
da
)
т
d
(
Y
−
a
ˆ
x
)][(
da
)
т
d
(
Y
−
ˆ
x
)]
т
(
b
т
b
)
+
≡
≡
tr (
Y
−
a
ˆ
x
)(
Y
−
a
ˆ
x
)
т
[
d
т
d
+
d
т
(
da
)(
b
т
b
)
+
(
da
)
т
d
]
.
(14)
Поскольку согласно равенствам
(12)
Y
−
a
ˆ
x
≡
Y
−
as
−
1
[(
da
)
т
dY
+
b
т
bZ
]
≡
≡
[
I
2
n
−
as
−
1
(
da
)
т
d
]
Y
−
as
−
1
b
т
bZ
≡
[
I
2
n
−
as
−
1
(
da
)
т
d
]
Y
−
−
as
−
1
[
s
−
(
da
)
т
da
]
Z
≡
[
I
2
n
−
as
−
1
(
da
)
т
d
](
Y
−
aZ
)
,
68
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2005.
№
3
