то с учетом соотношений
(14)
получаем
Φ
1
≡
tr
{
(
Y
−
aZ
)(
Y
−
aZ
)
т
e
}
,
(15)
где использована матрица
e
4
= [
I
2
n
−
as
−
1
(
da
)
т
d
]
т
[
d
т
d
+
d
т
(
da
)(
b
т
b
)
+
(
da
)
т
d
][
I
2
n
−
as
−
1
(
da
)
т
d
]
≡
≡
d
т
[
I
2
m
−
(
da
)
s
−
1
(
da
)
т
][
I
2
m
+ (
da
)(
b
т
b
)
+
(
da
)
т
][
I
2
m
−
(
da
)
s
−
1
(
da
)
т
]
d.
При этом если воспользоваться равенствами
(12),
определяющими ма
-
трицу
s
,
и известными свойствами псевдообратных матриц
[12],
то вы
-
ражение для нахождения матрицы
e
можно существенно упростить
:
e
≡
d
т
[
I
2
m
−
(
da
)
s
−
1
(
da
)
т
]
d.
(16)
Таким образом
,
при выполнении условий
(5),(6), (13)
согласно со
-
отношениям
(7), (10), (12), (15), (16)
имеем
Φ
≡
tr
{
(
Y
−
aZ
)(
Y
−
aZ
)
т
d
т
[
I
2
m
−
(
da
)
s
−
1
(
da
)
т
]
d
+
+ (
x
−
ˆ
x
)(
x
−
ˆ
x
)
т
s
}
.
(17)
Пусть далее
J
4
= [
I
n
...
I
n
]
2
M
n
×
2
n
(
R
)
,
Y
4
=
JY
≡
[
D
+
Y
1
...
D
+
Y
]
2
M
n
×
p
(
R
)
,
V
4
=
JZ
≡
[
B
+
z
0
...
D
+
Y
]
2
M
n
×
p
(
R
)
,
W
4
=
Jx
≡
[
X
0
...
X
]
2
M
n
×
p
(
R
)
.
(18)
Рассматривая три последних тождества в
(18)
как матричные линей
-
ные алгебраические уравнения относительно
Y, Z
и
x
соответственно
и воспользовавшись свойствами псевдообратных матриц
[12],
мы мо
-
жем утверждать
,
что их решения
,
обладающие минимальной евклидо
-
вой нормой
,
могут быть представлены в следующем виде
:
Y
= 0
,
5
J
т
Y, Z
= 0
,
5
J
т
V, x
= 0
,
5
J
т
W.
Поскольку согласно
(9), (18)
имеет место очевидное тождество
AJ
т
≡
J
т
A,
то с учетом соотношения
(17)
и свойств следа
[13]
имеем
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2005.
№
3
69
