Поскольку многочлен третьей степени имеет три
(
комплексных
)
корня
,
то общее решение дифференциального уравнения
(4)
имеет
вид
[4]
y
к
(
t
) =
C
0
y
0
(
t
) +
C
1
y
1
(
t
) +
C
2
y
2
(
t
)
,
где
C
0
, C
1
, C
2
—
произвольные постоянные
,
y
(
t
) =
˙
y
к
(
t
) +
Ey
к
(
t
)
D
.
Отсюда следует
,
что для нахождения постоянных
C
0
, C
1
, C
2
необхо
-
димо задать три начальных условия
.
В качестве первых двух начальных
условий естественно принять
y
(0) = 0
, y
к
(0) = 0
(
что соответствует на
-
чалу работы системы
),
а в качестве третьего условия выберем
¨
y
к
(0) =
a
(
что равносильно заданию возмущающей внешней силы
).
Итак
,
будем
решать систему дифференциальных уравнений
(3)
с начальными усло
-
виями
y
(0) = 0
, y
к
(0) = 0
,
¨
y
к
(0) =
a.
(6)
Рассмотрим многочлен третьей степени
f
(
s
) =
s
3
+ (
A
+
E
)
s
2
+
AEs.
Этот многочлен имеет три действительных корня
:
0
,
−
A <
0
,
−
E <
0;
один локальный максимум и один локальный минимум
.
При
этом
f
max
=
f
Ã
− √
3
P
−
(
A
+
E
)
3
!
=
=
(
A
+
E
)(2
A
−
E
)(
A
−
2
E
) + 6
P
√
3
P
27
>
0
,
f
min
=
f
Ã
√
3
P
−
(
A
+
E
)
3
!
=
=
(
A
+
E
)(2
A
−
E
)(
A
−
2
E
)
−
6
P
√
3
P
27
<
0
,
где
P
=
A
2
−
AE
+
E
2
3
>
0
.
График многочлена
f
(
s
)
представлен на рис
. 2.
Представим уравне
-
ние
(5)
в виде
f
(
s
) =
−
BD.
(7)
14
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2004.
№
3
