Поля открытых широкоапертурных оптических резонаторов - page 11

Рис. 6. Плоская сетка би-
полярных координат
зеркал широкоапертурного резонатора и она
является отличительной особенностью резо-
натора, то в этом случае ключевые систе-
мы совмещаются с координатными поверхно-
стями трех объемных криволинейных ортого-
нальных систем координат, построенных на
плоской сетке биполярных координат (рис. 6)
— биполярной цилиндрической, биполярной
объeмной и биполярной тороидальной. Эти
системы координат не являются разделяющи-
ми, поэтому решения волнового уравнения в аналитическом виде для
них не известны. Такие резонаторы можно отнести к пятому классу.
Приведенные здесь результаты исследований позволяют прийти к
интересному следствию, не имеющему непосредственного отношения
к предмету настоящей работы. Скорее это относится к области матема -
тической физики.
В результате разделения переменных (в случае разделяющих си -
стем координат) волновое уравнение , вернее, уравнение Гельмгольца,
т.е. стационарное волновое уравнение, распадается на три одномерные
волновые уравнения относительно соответствующих пространствен-
ных координат. Решения этих уравнений выражаются через собствен -
ные функции — спецфункции : в декартовых координатах — в плоских
волнах, в сферических — через сферические функции, в цилиндриче -
ских — через цилиндрические функции, в координатах вытянутого и
сплюснутого сфероидов — через функции вытянутого и сплюснутого
сфероидов, в координатах параболоида — через вырожденные гипер-
геометрические функции и т.д.
С другой стороны, зеркало в силу граничных условий для электро -
магнитной волны является узловой поверхностью или, в зависимости
от уточненных граничных условий, поверхностью равных фаз. Если
зеркало совмещено с координатной поверхностью , то падающая и отра-
женная волны выражаются через соответствующие спецфункции. Они
образуют стоячую волну. Это соответствует тому, что простейшим ти-
пом колебаний, который может существовать в согласованном с систе -
мой координат резонаторе — ключевой системе, образованной зеркала -
ми, совпадающими с координатными поверхностями, — является по-
ле, описываемое единственной спецфункцией. А поскольку волновое
уравнение в рассматриваемых случаях является уравнением, которо-
му удовлетворяют электромагнитные поля, то решения этого уравне-
ния — спецфункции — позволяют получить математическое предста-
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана . Сер. "Естественные науки". 2004. № 1 51