Математическая модель виброударного процесса
.
Пренебрегая
действием распределенной продольной осевой силы с интенсивностью
(4),
приходим к дифференциальному уравнению поперечных колеба
-
ний консоли под действием внешних нагрузок с интенсивностями
(1),
(2)
с учетом затухания
[8]:
EJ
z
∂
4
y
(
x, t
)
∂x
4
+
ρS
∂
2
y
(
x, t
)
∂t
2
+
µ
0
EJ
z
∂
5
y
(
x, t
)
∂t∂x
4
=
=
q
0
(
x, y
)(1
−
cos
ω
0
t
)
−
k
(
x, y
)(
y
(
x, t
) +
T
˙
y
(
x, t
));
(6)
здесь
EJ
z
—
изгибная жесткость
;
µ
0
—
коэффициент
,
характеризую
-
щий внутреннее затухание при поперечных колебаниях и учитываю
-
щий рассеяние энергии в защемленном конце консоли
.
Решение уравнения
(6)
находим при нулевых начальных условиях
виброударного процесса
,
поэтому внешние нагрузки с интенсивностя
-
ми
(1), (2)
в переходном режиме виброударного процесса необходимо
рассматривать как произвольные функции времени
.
Воспользуемся ме
-
тодом припасовывания
[9]
для получения решения дифференциального
уравнения
(6)
в установившемся режиме виброударного процесса
.
Для
этого найдем решения уравнения
(6)
на интервалах времени
—
этапах
цикла
,
где функции
q
0
(
x, y
)
и
k
(
x, y
)
,
раздельное действие которых в
сечениях консоли определено условием
(3),
либо не изменяются со вре
-
менем
,
либо заменяются постоянными функциями
,
не зависящими от
времени
.
Единое решение уравнения
(6)
получаем последовательным
наращиванием решений на этапах цикла
.
Общее решение дифференциального уравнения
(6)
на этапах цикла
получим в виде разложения в ряд по фундаментальным функциям
[9]:
y
(
x, t
) =
X
i
ϕ
i
(
t
)
X
i
(
x
)
, i
= 1
,
2
, . . . ,
(7)
где
ϕ
i
(
t
)
—
определяемые функции времени
i
-
й формы поперечных ко
-
лебаний
;
X
i
(
x
) = ch
k
i
x
−
cos
k
i
x
−
α
i
(sh
k
i
x
−
sin
k
i
x
)
(8)
—
фундаментальные функции
,
соответствующие заданным граничным
условиям вида
X
i
(
x
)
¯ ¯ ¯
x
=0
= 0
, X
0
i
(
x
)
¯ ¯ ¯
x
=0
= 0
для заделанного конца
,
X
00
i
(
x
)
¯ ¯ ¯
x
=
l
= 0
, X
000
i
(
x
)
¯ ¯ ¯
x
=
l
= 0
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2004.
№
4
101
