фундаментальным функциям
[9]:
u
(
x, t
) =
X
i
a
i
(
t
)
X
i
(
x
) =
X
i
a
i
(
t
) sin
µ
iπx
2
l
¶
, i
= 1
,
3
,
5
, . . . ,
(13)
где
а
i
(
t
)
—
определяемые функции времени
;
X
i
(
x
)
—
фундаменталь
-
ные функции
,
соответствующие граничным условиям вида
u
(
x, t
)
¯ ¯ ¯
x
=0
= 0
для заделанного конца и
(14)
u
0
(
x, t
)
¯ ¯ ¯
x
=
l
= 0
для свободного конца
.
Решение уравнения
(12)
методом припасовывания предполагает
,
что действие продольной осевой нагрузки
(4)
на этапах цикла заменя
-
ется действием постоянной осевой нагрузки
,
распределение которой
рассчитывается в начале каждого этапа
f
тр
(
x, t
)
¯ ¯
t
=0
=
f
тр
(
x, t
0
)
и со
-
гласно формуле
(5)
зависит от решения дифференциальных уравнений
(6)
и
(12)
на предыдущем этапе
.
Начальными условиями этапа являют
-
ся координаты продольных сечений консоли и их скорости
,
определя
-
емые в конце предыдущего этапа цикла
:
u
(
x, t
)
¯ ¯ ¯
t
=0
=
X
i
a
i
(0)
X
i
(
x
)
,
˙
u
(
x, t
)
¯ ¯ ¯
t
=0
=
X
i
˙
a
i
(0)
X
i
(
x
)
, i
= 1
,
3
,
5
, . . . .
(15)
Подставляя ряд
(13)
в уравнение
(12)
и учитывая
,
что
X
00
i
(
x
) =
=
−
(
πi/
2
l
)
2
X
i
(
x
)
,
получим
X
i
X
i
¡
¨
a
i
+
µ
00
ω
2
i
˙
a
i
+
ω
2
i
a
i
¢
=
1
ρS
f
тр
(
x, t
0
)
, i
= 1
,
3
,
5
, . . . ,
где
ω
i
=
s
E
ρ
µ
πi
2
l
¶
2
—
собственная частота консоли
,
соответствующая
i
-
й форме продоль
-
ных колебаний
.
Умножая обе части этого выражения на
X
k
(
x
)
dx
и ин
-
тегрируя в пределах от
0
до
l
с учетом свойства ортогональности фун
-
даментальных функций
,
получаем
¨
a
i
+
µ
00
ω
2
i
˙
a
i
+
ω
2
i
a
i
=
2
ρSl
l
Z
0
f
тр
(
x, t
0
)
X
i
(
x
)
dx.
(16)
104
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2004.
№
4
