волн при
η
¿
1
[10].
Тогда для вынужденных колебаний под действием
силы с интенсивностью
(1)
получим
µ
0
=
η/ω
0
,
а для свободных зату
-
хающих колебаний при условии
,
что
µ
0
—
малая величина
,
получим
µ
0
=
η/p
i
[8].
При этом условии общее решение дифференциального
уравнения
(10)
на этапах цикла имеет вид
ϕ
i
(
t
) =
e
−
β
1
i
t
(
C
i
cos
p
2
i
t
+
D
i
sin
p
2
i
t
)+
+
Q
i
p
2
1
i
Ã
1
−
p
2
1
i
cos(
ω
0
t
+
ψ
0
+
ε
i
)
p
(
p
2
1
i
−
ω
2
0
)
2
+ (2
β
2
i
ω
0
)
2
!
;
(11)
здесь
C
i
=
ϕ
i
(0)
−
Q
i
p
2
1
i
Ã
1
−
p
2
1
i
cos(
ψ
0
+
ε
i
)
p
(
p
2
1
i
−
ω
2
0
)
2
+ (2
β
2
i
ω
0
)
2
!
,
D
i
=
µ
ϕ
i
(0) +
β
1
i
C
i
−
Q
i
ω
0
sin(
ψ
0
+
ε
i
)
p
(
p
2
1
i
−
ω
2
0
)
2
+ (2
β
2
i
ω
0
)
2
¶
p
−
1
2
i
—
произвольные постоянные
,
получаемые из начальных условий
(9);
β
1
i
= (
ηp
i
+
T p
2
ki
)
/
2
и
β
2
i
= (
ηp
2
i
/ω
0
+
T p
2
ki
)
/
2
—
коэффициенты
затухания последовательных форм поперечных колебаний консоли
в условиях свободных и вынужденных колебаний соответственно
;
p
1
i
=
p
p
2
i
+
p
2
ki
и
p
2
i
=
p
p
2
1
i
−
β
2
1
i
—
собственная частота после
-
довательных форм колебаний консоли на этапах виброударно
-
го процесса без учета и с учетом затухания соответственно
;
ε
i
=
−
arctg(2
β
2
i
ω
0
/
(
p
2
1
i
−
ω
2
0
))
—
сдвиг между фазой распределенной
электромагнитной силы
q
(
x, t
)
и фазой последовательной формы коле
-
баний консоли в вынужденном режиме
;
ψ
0
=
ω
0
∆
t
—
фаза колебаний
вынуждающей силы
q
(
x, t
)
;
∆
t
—
время
,
прошедшее с начала первого
этапа цикла виброударного процесса
.
Подставляя выражения
(8), (11)
в ряд
(7),
получаем общее решение
дифференциального уравнения
(6)
на этапах виброударного процесса
.
Продольные колебания консоли
.
Дифференциальное уравнение
продольных колебаний консоли под действием распределенной осевой
силы трения интенсивностью
(4)
с учетом затухания имеет вид
[8]
ρS
∂
2
u
(
x, t
)
∂t
2
−
µ
00
∂
3
u
(
x, t
)
∂t∂x
2
−
ES
∂
2
u
(
x, t
)
∂x
2
=
f
тр
(
x, t
)
,
(12)
где
µ
00
—
коэффициент
,
характеризующий внутреннее затухание при
продольных колебаниях и учитывающий рассеяние энергии в защем
-
ленном конце консоли
.
Решение уравнения
(12),
как и прежде
,
получим методом припасо
-
вывания при нулевых начальных условиях в виде разложения в ряд по
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2004.
№
4
103
