Для того чтобы учесть независимость рассеяния энергии силами
внутреннего трения консоли от частоты
,
введем коэффициент
η
1
потерь
материала консоли для свободных продольных колебаний
.
При выпол
-
нении условия
µ
00
¿
1
имеем
η
1
=
µ
00
ω
i
[8].
Тогда общее решение диф
-
ференциального уравнения
(16)
на этапах цикла имеет вид
a
(
t
) = exp
µ
−
η
1
ω
i
2
t
¶
(
C
i
cos
ω
1
i
t
+
D
i
sin
ω
1
i
t
)+
+
2
ρSlω
2
i
l
Z
0
f
тр
(
x, t
0
) sin
µ
iπx
2
l
¶
dx,
решение дифференциального уравнения
(12)
принимает вид
u
(
x, t
) =
X
i
a
(
t
) sin
µ
iπx
2
l
¶
, i
= 1
,
3
,
5
, . . . ,
(17)
где
C
i
=
a
i
(0)
−
2
ρSlω
2
i
l
Z
0
f
(
x, t
0
) sin
µ
iπx
2
l
¶
dx,
D
i
=
˙
a
i
(0) + 0
,
5
η
1
ω
i
C
i
ω
1
i
,
—
произвольные постоянные
,
получаемые из начальных условий
(14);
ω
1
i
=
ω
i
p
1
−
(0
,
5
η
1
)
2
—
собственная частота последовательных форм
продольных колебаний консоли с учетом затухания
.
Продольное напряжение
,
действующее в сечении заделки консоли
во время виброударного процесса
,
определяется выражением
σ
x
(0
, t
) =
E
∂u
(
x, t
)
∂x
¯ ¯ ¯ ¯
x
=0
.
(18)
Оценим влияние первых двух членов в левой части дифференци
-
ального уравнения
(12)
на продольное напряжение
(18).
Пренебрегая
первыми двумя членами левой части уравнения
(12)
и учитывая
,
что
согласно методу припасовывания действие распределенной силы тре
-
ния на этапах цикла не зависит от времени
,
приходим к дифференци
-
альному уравнению статики на каждом этапе цикла
:
−
ES
∂
2
u
(
x
)
∂x
2
=
f
тр
(
x, t
0
)
.
(19)
Учитывая
,
что напряжение в любом сечении консоли имеет вид
ˆ
σ
x
(
x
) =
=
Eu
0
(
x
)
,
и интегрируя уравнение
(19)
в пределах от
0
до
l
с учетом
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2004.
№
4
105
