Основа теории магнитостатики — закон Био-Савара для вакуума:
~B
=
μ
0
4
π
Z
~j
×
(
~r
−
~r
0
)
dV
|
~r
−
~r
0
|
3
≡
rot
μ
0
4
π
Z
~jdV
|
~r
−
~r
0
|
!
.
(3)
В соотношениях (2) и (3), а также в соотношениях, приведенных да-
лее, интегрирование выполняется по координатам точки расположения
источников поля, т.е. по штрихованным координатам.
Произвольное векторное поле в безграничном пространстве полно-
стью определяется объемной плотностью скалярного источника поля
и объемной плотностью векторного источника поля [12]. В качестве
объемной плотности скалярного источника выступает дивергенция
рассматриваемого векторного поля, а в качестве объемной плотности
векторного источника поля — ротор этого векторного поля:
~a
= grad
1
4
π
Z
div
~a
|
~r
−
~r
0
|
dV
+
rot
1
4
π
Z
rot
~
a
|
~r
−
~r
0
|
dV .
(4)
Соотношение (4) справедливо для векторных полей с источниками по-
ля, расположенными в ограниченной области. Здесь и ниже скалярная
плотность источника поля
~a
— это некоторое скалярное поле
g
(
~r
)
в
рассматриваемой области изменения независимых переменных, век-
торная плотность источника поля
~a
— некоторое векторное поле
~f
(
~r
)
,
дивергенция которого равна нулю. Эти величины рассматриваются как
источники поля
~a
.
Основные дифференциальные уравнения электро- и магнито-
статики.
Как правило, дифференциальные уравнения электро- и маг-
нитостатики для неподвижной среды имеют вид
div
~D
=
ρ
; rot
~E
= 0;
div
~B
= 0; rot
~B
=
μ
0
(
~j
+
~j
0
m
)
,
где
~j
0
m
— объемная плотность токов намагничения среды.
Запишем дифференциальные уравнения электростатики для век-
торных полей
~E
,
~D
,
~P
:
div
~E
=
ρ
+
ρ
0
ε
0
; rot
~E
= 0;
(5)
div
~P
=
−
ρ
0
; rot
~P
=
−
ε
0
~E
×
grad
ε
;
(6)
div
~D
=
ρ
; rot
~D
=
−
ε
0
~E
×
grad
ε
(7)
и дифференциальные уравнения магнитостатики для векторных полей
~B
,
~M
,
~H
:
div
~B
= 0; rot
~B
=
μ
0
(
~j
+
~j
0
m
);
(8)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 4
29
