рассмотрена регуляризованная задача
(1)
ε
с многоэкстремальной, не
всюду дифференцируемой критериальной функцией
f
(
x
)
;
ε >
0
—
параметр регуляризации [8].
В обобщение постановок экстремальных задач вычислительной
диагностики рассмотрим задачу глобальной оптимизации, формули-
руемую в следующем виде: найти
f
(
x
) = min
x
2
X
R
n
f
(
x
)
,
(2)
где
X
=
{
x
2
D
:
g
i
(
x
)
≤
0
, i
2
I
}
;
(3)
D
=
{
x
2
R
n
:
a
j
≤
x
j
≤
b
j
, j
2
J
}
;
(4)
f
(
x
)
— целевая функция;
g
i
(
x
)
— функции ограничений задачи,
i
2
I
;
I
=
{
1
, . . . , m
}
— конечное множество индексов;
D
— область поиска;
x
— глобальное решение. Функции
f
(
x
)
,
g
i
(
x
)
,
i
2
I
, задачи (2)–(4)
предполагаются непрерывными липшицевыми; действительная функ-
ция
f
: R
n
→
R
является многоэкстремальной, не всюду дифферен-
цируемой и для нее задана вычислительная процедура, позволяющая
определять значения функции в точках допустимой области. Необ-
ходимо также учесть возможную высокую трудоемкость вычисления
критериальных функций, что может потребовать значительных вычи-
слительных ресурсов.
Методы локальной минимизации и аппроксимация критери-
альных функций.
Рассмотрим задачу (2)–(4), ограничившись поис-
ком локального решения. Предварительно исследуем задачу поиска
минимума действительной функции
f
: R
n
→
R
, определенной в виде
f
(
x
) = max
x
2
X
R
n
{
ϕ
i
(
x
)
}
, i
2
I
M
=
{
1
, . . . , M
}
,
(5)
где
X
— допустимое множество; предполагается, что все функции
ϕ
i
(
x
)
,
i
2
I
M
, выпуклы и непрерывно дифференцируемы.
Задачи, формулируемые в минимаксной форме, относятся к классу
недифференцируемых задач оптимизации [17]. Для их решения при-
меняют специальные методы, например, модифицированный метод
сопряженных градиентов, метод гиперболической сглаживающей
функции и др. [21, 22]. Рассматриваемый далее подход основан на
построении сглаживающих аппроксимаций критериальных функций
с последующим применением эффективных методов, разработан-
ных для задач дифференцируемой оптимизации. Следует отметить,
что применительно к задачам динамики гидромеханических систем
процедура сглаживания корректна и не приводит к потере существен-
ной информации [13]. Преимуществом также является возможность
создания эффективного программного обеспечения, позволяющего
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 4
51
