вается задача оптимизации со смешанными функциональными огра-
ничениями
f
(
x
)
→
min
, x
2
D
;
(8)
D
=
{
x
2
R
n
:
F
(
x
) = 0
, G
(
x
)
≤
0
}
,
(9)
где
f
: R
n
→
R
— заданная функция;
F
: R
n
→
R
l
и
G
: R
n
→
R
m
—
заданные отображения;
l
— число ограничений в форме равенств;
m
—
число ограничений-неравенств.
Пусть
ˉ
x
2
D
— локальное решение задачи (8), (9), причем функция
˜
f
дифференцируема в точке
ˉ
x
, отображения
˜
F
и
˜
G
удовлетворяют
условиям гладкости и в точке
ˉ
x
выполнено условие Мангасариана –
Фромовица. Введем функцию Лагранжа задачи (8), (9)
L
: R
n
×
R
l
×
R
m
→
R;
L
(
x, λ, μ
) =
f
(
x
) +
h
λ, F
(
x
)
i
+
h
μ, G
(
x
)
i
.
С учетом сглаживающих аппроксимаций можно ввести
˜
L
(
p, q
;
x, λ, μ
) = ˜
f
(
p, q
;
x
) +
D
λ,
˜
F
(
p, q
;
x
)
E
+
D
μ,
˜
G
(
p, q
;
x
)
E
,
при этом
∂
˜
L
∂x
(
p, q
;
x, λ, μ
) = ˜
f
0
(
p, q
;
x
) + ( ˜
F
0
(
p, q
;
x
))
B
λ
+ ( ˜
G
0
(
p, q
;
x
))
B
μ,
x
2
R
n
, λ
2
R
l
, μ
2
R
m
.
Теорема 2.
Пусть выбраны параметры
p, q
, функция
˜
f
: R
n
→
R
и отображение
˜
G
: R
n
→
R
m
дифференцируемы в точке
ˉ
x
: R
n
, а
отображение
˜
F
: R
n
→
R
l
– в некоторой окрестности этой точки,
причем его производная непрерывна в точке
ˉ
x
.
Если
ˉ
x
является локальным решением задачи (8), (9) и в точке
ˉ
x
выполнено условие регулярности Мангасариана – Фромовица, то най-
дутся элементы
ˉ
λ
2
R
l
и
ˉ
μ
2
R
m
+
такие, что
∂
˜
L
∂x
(
p, q
; ˉ
x,
ˉ
λ,
ˉ
μ
) = 0;
D
~μ,
˜
G
(
p, q
; ˉ
x
)
E
= 0
.
J
Доказательство получается прямой ссылкой на теорему 2, при-
веденную в работе [24], и теорему 1.
I
Рассмотрим важный практический случай задачи вычислительной
диагностики систем — задача минимизации (2), (4) для случая простых
ограничений (ограничений на переменные управления):
min
x
n
˜
f
(
p, q, x
) :
a
j
≤
x
j
≤
b
j
, j
2
J
o
,
(10)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 4
53
