оперативно получать решения с приемлемой для практики точностью.
Подход предполагает замену каждой недифференцируемой функции
некоторой ее аппроксимацией, которая была бы выпуклой и диффе-
ренцируемой в области допустимых значений переменных управле-
ния [23].
Целевую функцию (5) можно определить в эквивалентной форме
f
(
x
) =
ϕ
1
(
x
) +
γ
(
ϕ
2
(
x
)
−
ϕ
1
(
x
) +
γ
(
. . .
+
+
γ
(
ϕ
M
−
1
(
x
)
−
ϕ
M
−
2
(
x
) +
γ
(
ϕ
M
(
x
) +
ϕ
M
−
1
(
x
)))
. . .
))
,
(6)
где
γ
(
ϕ
i
(
x
)) = max
x
2
X
R
n
{
0
, ϕ
i
(
x
)
}
, i
2
I
M
.
(7)
Основная идея рассматриваемого метода состоит в том, чтобы каждую
функцию
γ
(
ϕ
i
(
x
))
, i
2
I
M
, входящую в (6), заменить некоторой глад-
кой функцией, построить сглаженную приближенную целевую функ-
цию, а затем применить эффективные методы гладкой минимизации.
При возрастании точности аппроксимации функций (7) имеет место
сходимость приближенного решения к точному.
Существенно, что уже в одномерном случае функция
γ
(
x
) =
= max
x
2
X
R
{
0
, x
}
в точке
x
= 0
дифференцируема только по напра-
влениям. Возможен следующий подход: на числовой оси выделяется
отрезок
[
p, q
]
, содержащий точку, в которой функция
γ
(
x
)
имеет ука-
занную особенность, и на этом отрезке исходная функция заменяется
некоторой приближенной функцией, выпуклой и дифференцируемой
в каждой точке по построению. Пусть выбраны числа
p <
0
и
q >
0
.
Введем двухпараметрическую аппроксимацию функции
γ
: R
→
R
˜
γ
(
p, q, x
) =
0
,
x
≤
p
;
s
(
p, q, x
)
, p < x < q
;
x,
x
≥
q.
Здесь
p, q
— параметры аппроксимации, определяющие левую и пра-
вую границы отрезка
[
p, q
]
, на котором задана сглаживающая функ-
ция
s
(
p, q, x
)
. Приближенная функция
˜
γ
(
p, q, x
)
совпадает с исходной
функцией
γ
(
x
)
всюду, за исключением отрезка
[
p, q
]
. Потребуем, что-
бы функция
s
(
p, q, x
)
была выпуклой и по крайней мере один раз
дифференцируемой на отрезке
[
p, q
]
. При этом
s
(
p, q,
0) =
−
pη
(
p, q
)
,
где
η
(
p, q
)
определяется свойствами сглаживающей функции.
Теорема 1 [23].
Пусть
x
2
R
n
и
˜
x
2
R
n
суть точки минимума
для
f
(
x
)
и
˜
f
(
p, q, x
)
соответственно. Тогда
0
≤
˜
f
(
p, q,
˜
x
)
−
f
(
x
)
≤ −
p
min
x
2
X
R
n
{
1
,
(
M
−
1)
η
(
p, q
)
}
.
С помощью сглаживающих аппроксимаций могут быть сформулиро-
ваны необходимые условия Каруша – Куна – Таккера. Пусть рассматри-
52
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 4
