T
1
(
r, z,
0) =
T
C
,
0
6
r
6
r
0
,
0
6
z
6
h
;
(3)
T
2
(
r, z,
0) =
T
C
, r
0
6
r
6
r
0
+
δ,
0
6
z
6
h
;
(4)
λ
2
(
T
2
)
∂T
2
∂r
r
=
r
0
+
δ
=
q
1
(
z, t
)
,
0
< t
6
t
;
q
2
(
z, t
)
, t > t
;
(5)
∂T
1
∂z
z
=0
,
z
=
h
= 0
, t >
0
,
0
6
r
6
r
0
;
(6)
∂T
2
∂z
z
=0
,
z
=
h
= 0
, t >
0
, r
0
6
r
6
r
0
+
δ
;
(7)
λ
1
(
T
1
)
∂T
1
∂r
r
=
r
0
=
1
R
(
T
2
(
r
0
, z, t
)
−
T
1
(
r
0
, z, t
)) =
=
λ
2
(
T
2
)
∂T
2
∂r
r
=
r
0
, t >
0
,
0
6
z
6
h.
(8)
Здесь приняты следующие обозначения: индекс 1 соответствует ме-
таллическому цилиндру, 2 — поглощающему покрытию;
r
— простран-
ственная координата вдоль радиуса цилиндра;
z
— пространственная
координата вдоль оси цилиндра;
T
j
(
r, z, t
)
— искомые температурные
поля;
ρ
,
c
и
λ
— плотность, удельная теплоемкость и коэффициент
теплопроводности соответственно.
В граничном условии (5)
q
1
(
z, t
) =
q
0
, z
2
[
s
(
t
)
, s
(
t
) +
l
] ;
α
(
T
C
−
T
W
(
z, t
)) +
+
σε
(
T
4
C
−
T
4
W
(
z, t
))
, z
2
[0
, h
]
\
[
s
(
t
)
, s
(
t
) +
l
] ;
q
2
(
z, t
) =
α
(
T
C
−
T
W
(
z, t
)) +
σε T
4
C
−
T
4
W
(
z, t
)
, z
2
[0
, h
]
,
где
T
W
(
z, t
) =
T
2
(
r
0
+
δ, z, t
)
;
σ
— постоянная Стефана–Больцмана;
ε
— степень черноты излучающей поверхности.
Построение алгоритма приближенного решения.
Для нахожде-
ния приближенного аналитического решения задачи (1)–(8) восполь-
зуемся модификацией [4] метода, предложенного в работах [5, 6].
Введем функции
C
j
(
T
j
, r
) =
ρ
j
rc
j
(
T
j
)
,
Λ
j
(
T
j
, r
) =
rλ
j
(
T
j
)
, j
= 1
,
2
,
и запишем уравнения (1), (2) следующим образом:
C
1
(
T
1
, r
)
∂T
1
∂t
=
div
(Λ
1
(
T
1
, r
)
grad
T
1
)
,
t >
0
,
0
< r < r
0
,
0
< z < h
;
(9)
100
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 2
