где
A
(
k
)
j,psmn
=
τ
(
μ
j,m
μ
j,p
+
ν
n
ν
s
)
ξ
(
k
)
j,
(
|
m
−
p
|
,
|
n
−
s
|
)
−
ξ
(
k
)
j,
(
m
+
p,n
+
s
)
+
+
τ
(
μ
j,m
μ
j,p
−
ν
n
ν
s
)
ξ
(
k
)
j,
(
|
m
−
p
|
,n
+
s
)
−
ξ
(
k
)
j,
(
m
+
p,
|
n
−
s
|
)
+
+
η
(
k
)
j,
(
|
m
−
p
|
,
|
n
−
s
|
)
+
η
(
k
)
j,
(
m
+
p,
|
n
−
s
|
)
+
η
(
k
)
j,
(
|
m
−
p
|
,n
+
s
)
+
η
(
k
)
j,
(
m
+
p,n
+
s
)
;
b
(
k
)
j,ps
=
f
(
k
)
j
+
∞
X
m
=0
∞
X
n
=0
γ
mn
a
(
k
−
1)
j,mn
η
(
k
)
j,
(
|
m
−
p
|
,
|
n
−
s
|
)
+
+
η
(
k
)
j,
(
m
+
p,
|
n
−
s
|
)
+
η
(
k
)
j,
(
|
m
−
p
|
,n
+
s
)
+
η
(
k
)
j,
(
m
+
p,n
+
s
)
;
f
(
k
)
1
=
8
τ
r
0
(
−
1)
p
ϕ
(
k
)
s
;
f
(
k
)
2
=
8
τ
δ
(
−
1)
p
ψ
(
k
)
s
−
ϕ
(
k
)
s
;
ξ
(
k
)
j,
(
p,s
)
и
η
(
k
)
j,
(
p,s
)
— коэффициенты Фурье разложений функций
C
(
k
)
j
(
r, z
)
и
Λ
(
k
)
j
(
r, z
)
соответственно в двойные тригонометрические ряды по
системам функций
{
X
j,ps
(
r, z
)
}
∞
p,s
=0
;
ϕ
(
k
)
s
и
ψ
(
k
)
s
— коэффициенты Фу-
рье разложений функций
Q
(
k
)
0
(
z
)
и
Q
(
k
)
W
(
z
)
соответственно в тригоно-
метрические ряды по системе функций
{
cos (
ν
s
z
)
}
∞
s
=0
.
Системы вида (17) можно преобразовать [4] к стандартному виду
∞
X
w
=1
D
(
k
)
j,vw
˜
x
(
k
)
j,w
= ˜
b
(
k
)
j,v
, v
= 1
,
2
, . . . , j
= 1
,
2
,
(18)
где
˜
x
(
k
)
j,w
и
˜
b
(
k
)
j,v
— одномерные массивы, составленные из элементов
массивов
x
(
k
)
j,mn
≡
γ
mn
a
(
k
)
j,mn
и
b
(
k
)
j,ps
соответственно, а
D
(
k
)
j,vw
— двумерный
массив, составленный из элементов многомерного массива
A
(
k
)
j,psmn
.
Решения бесконечных систем вида (18) могут быть найдены мето-
дом редукции [7, 8].
Следует отметить, что поскольку дифференциальные операторы в
правых частях уравнений (9), (10) являются симметрическими поло-
жительно определенными, имеет место свойство
A
(
k
)
j,psmn
=
A
(
k
)
j,mnps
, то
матрицы
D
(
k
)
j
,
j
= 1
,
2
, — симметрические положительно определен-
ные. Это позволяет для решения конечных систем, полученных из (18)
усечением, применить метод Холецкого [9].
В результате построен алгоритм нахождения приближенного ана-
литического решения задачи (1)–(8) в форме тригонометрических мно-
гочленов
T
1
(
r, z, t
k
)
≈
N
1
X
m
=0
N
1
−
m
X
n
=0
γ
mn
a
(
k
)
1
,mn
cos (
μ
1
,m
r
) cos (
ν
n
z
) ;
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 2
103
