∂T
(
k
)
1
∂z
z
=0
,
z
=
h
= 0
,
0
6
r
6
r
0
;
(13)
−
div
Λ
(
k
)
2
(
r, z
)
grad
T
(
k
)
2
(
r, z
) +
1
τ
C
(
k
)
2
(
r, z
)
T
(
k
)
2
(
r, z
) =
=
1
τ
C
(
k
)
2
(
r, z
)
T
(
k
−
1)
2
(
r, z
)
, r
0
< r < r
0
+
δ,
0
< z < h
;
(14)
Λ
(
k
)
2
(
r, z
)
∂T
(
k
)
2
∂r
r
=
r
0
=
Q
(
k
)
0
(
z
)
,
Λ
(
k
)
2
(
r, z
)
∂T
(
k
)
2
∂r
r
=
r
0
+
δ
=
Q
(
k
)
W
(
z
)
,
0
6
z
6
h
;
(15)
∂T
(
k
)
2
∂z
z
=0
,
z
=
h
= 0
, r
0
6
r
6
r
0
+
δ.
(16)
Следует отметить, что на каждом временном слое
t
=
t
k
задачи (11)–
(13) и (14)–(16) решаются независимо.
На первом шаге итерации, согласно начальным условиям (3) и (4),
T
(0)
j
(
r, z
) =
T
C
. На
k
-м шаге итерации функции
T
(
k
)
j
(
r, z
)
будем искать
в форме разложения в двойные тригонометрические ряды Фурье
T
(
k
)
j
(
r, z
) =
∞
X
m
=0
∞
X
n
=0
γ
mn
a
(
k
)
j,mn
X
j,mn
(
r, z
)
, j
= 1
,
2
,
где
γ
mn
=
γ
m
γ
n
,
γ
m
=
0
,
5
, m
= 0
,
1
, m >
0
,
по полным и ортогональным
[4] в областях
Ω
j
,
j
= 1
,
2
, системам функций
{
X
j,mn
(
r, z
)
}
∞
m,n
=0
:
X
1
,mn
(
r, z
) = cos (
μ
1
,m
r
) cos (
ν
n
z
)
,
Ω
1
= (0
, r
0
)
×
(0
, h
) ;
X
2
,mn
(
r, z
) = cos (
μ
2
,m
(
r
−
r
0
)) cos (
ν
n
z
)
,
Ω
2
= (
r
0
, r
0
+
δ
)
×
(0
, h
)
.
Здесь
μ
1
,m
=
mπ
r
0
,
μ
2
,m
=
mπ
δ
,
ν
n
=
nπ
h
.
Для нахождения коэффициентов
a
(
k
)
j,mn
этих разложений умножим
уравнения (11) и (14) на функции
X
1
,ps
(
r, z
)
и
X
2
,ps
(
r, z
)
соответствен-
но, а затем проинтегрируем полученные соотношения по областям
Ω
1
и
Ω
2
. Используя граничные условия (12), (13) и (15), (16), приходим к
бесконечным системам линейных алгебраических уравнений относи-
тельно искомых коэффициентов
a
(
k
)
j,mn
:
∞
X
m
=0
∞
X
n
=0
A
(
k
)
j,psmn
γ
mn
a
(
k
)
j,mn
=
b
(
k
)
j,ps
,
p
= 0
,
1
,
2
, . . . , s
= 0
,
1
,
2
, . . . , j
= 1
,
2
,
(17)
102
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 2
