T
2
(
r, z, t
k
)
≈
N
2
X
m
=0
N
2
−
m
X
n
=0
γ
mn
a
(
k
)
2
,mn
cos (
μ
2
,m
(
r
−
r
0
)) cos (
ν
n
z
)
,
коэффициенты
x
(
k
)
j,mn
≡
γ
mn
a
(
k
)
j,mn
которых находят из конечных систем
M
j
X
w
=1
D
(
k
)
j,vw
˜
x
(
k
)
j,w
= ˜
b
(
k
)
j,v
, v
= 1
,
2
, . . . M
j
, j
= 1
,
2
.
Здесь
M
j
= (
N
j
+ 1) (
N
j
+ 2)
/
2
, а
N
j
определяются на основе оценки
Рунге [10].
При проведении численных расчетов выбор шага по временной
переменной осуществлялся на основе сравнения в фиксированные мо-
менты времени
˜
t
распределений температуры на поверхности
r
=
r
0
при двух значениях шага (
τ
и
τ/
2
):
T
τ
r
0
, z,
˜
t
−
T
τ/
2
r
0
, z,
˜
t
T
τ/
2
r
0
, z,
˜
t
6
ε
0
,
где
ε
0
— заданное значение погрешности.
Результаты численных расчетов.
Приведем пример отыскания
глубины зоны локального прогрева металлического цилиндра до тем-
пературы
T
п
, не превышающей температуры плавления металла.
Расчеты проводились при следующих значениях параметров за-
дачи:
ρ
1
= 7780
кг/м
3
;
ρ
2
= 3000
кг/м
3
,
T
C
= 300
K;
T
п
= 1500
K;
α
= 50
Вт/(м
2
∙
K);
R
= 10
−
4
м
2
∙
K/Вт;
σ
= 5
,
67
∙
10
−
8
Вт/(м
2
∙
K
4
);
ε
= 0
,
8
;
r
0
= 24
∙
10
−
3
м;
δ
= 0
,
2
∙
10
−
3
м;
h
= 120
∙
10
−
3
м;
l
= 10
∙
10
−
3
м;
Δ
t
= 0
,
5
c.
В табл. 1 и 2 приведены значения коэффициентов теплопроводно-
сти и удельных теплоемкостей материалов цилиндра и поглощающего
покрытия в зависимости от температуры [11].
Таблица 1
Теплофизические свойства материала цилиндра
Температура
T
, K
Свойства
300 400 600 800 1000 1200 1400 1600
λ
1
, Вт/(м
∙
K)
48 47 41 37
32
23
21
20
c
1
, Дж/(кг
∙
K)
469 505 521 660 616 577 560 545
Таблица 2
Теплофизические свойства материала поглощающего покрытия
Температура
T
, K
Свойства
300 400 600 800 1000 1200 1400 1800 2000
λ
2
, Вт/(м
∙
K)
32,0 28,0 20,0 16,0 7,5 6,4 5,6 5,2 5,0
c
2
, Дж/(кг
∙
K) 860 875 943 1020 1086 1102 1140 1170 1178
Варьируя параметры задачи
q
0
и
β
в интервалах значений
q
0
=
= (1
. . .
5)
∙
10
7
Вт/м
2
и
0
< β <
1
, выбираем
q
0
= 1
,
5
∙
10
7
Вт/м
2
и
104
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 2
