В условиях реальных экспериментов [3–7] ширина щели
d
мала по
сравнению с радиусом кривизны волнового фронта и велика по срав-
нению с длиной волны
λ
. Это позволяет полагать падающие на экран
волны плоскими в пределах ширины щели, а при решении уравнения
(1) использовать приближенные граничные условия Кирхгофа [10]: в
области щели в экране функция
Ψ(
~r
)
имеет такой же вид, какой она
имела бы при отсутствии экрана, а на непрозрачных частях экрана
Ψ (
~r
)
z
=0
= 0
и
(
∂
Ψ/
∂z
)
z
=0
= 0
. В этом случае решение уравнения (1)
в области пространства
z >
0
имеет вид [10]:
Ψ(
x, z
)
d
/2
Z
−
d
/2
e
ik
√
(
x
−
x
0
)
2
+
z
2
q
(
x
−
x
0
)
2
+
z
2
dx
0
.
(2)
Интегрирование в (2) ведется по ширине щели; знак пропорци-
ональности “ ” обозначает, что решение (2) записано с точностью
до постоянных коэффициентов, которые для дальнейших расчетов не
имеют значения. В реальных экспериментах [3–7] выполнялось усло-
вие дифракции Фраунгофера
kd
2
L
. Вычисление интеграла (2) в
приближении Фраунгофера дает
|
Ψ(
x, L
)
|
2
≡ |
Ψ(
x
)
|
2
=
A
x
2
sin
2
πdx
λL
,
(3)
где
A
— некоторая константа. Правая часть формулы (3) с точностью
до постоянных множителей совпадает с классической формулой для
распределения освещенности в дифракционной картине при дифрак-
ции света на щели в приближении Фраунгофера.
Задача настоящей работы состоит в создании генератора псевдо-
случайных чисел с плотностью распределения вероятности
f
(
x
)
, со-
впадающей с плотностью распределения вероятности попадания ми-
крочастиц в различные точки детектора. Чтобы величину
|
Ψ(
x
)
|
2
мож-
но было рассматривать в качестве плотности
f
(
x
)
, необходимо эту
величину нормировать на единицу:
∞
Z
−∞
|
Ψ(
x
)
|
2
dx
=
∞
Z
−∞
f
(
x
)
dx
= 1
.
(4)
Подставляя (3) в (4) и выполняя интегрирование, получаем
A
=
= (
λL
/
π
2
d
)
и
f
(
x
) =
λL
π
2
dx
2
sin
2
πdx
λL
.
Для дальнейших вычислений вместо координаты микрочастиц
x
вве-
дем безразмерную случайную величину
X
= (
x
/
L
)
. В итоге для нор-
мированной на единицу плотности дифракционного распределения
40
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 6
