Чтобы упростить дальнейшие выкладки, выполним в (5) замену пе-
ременной
(2
πdX
/
λ
)
→
X
. Такая замена соответствует изменению
масштаба по оси
Х
. В новой переменной плотность ДРВ (5) преобра-
зуется к виду
f
(
X
) =
2
πX
2
sin
2
X
2
.
Для функции ДРВ
F
(
X
)
получим
F
(
X
) =
X
Z
−∞
f
(
X
0
)
dX
0
=
1
2
−
2
πX
sin
2
X
2
+
|
X
|
πX
Si
(
|
X
|
)
.
(9)
Здесь
Si
— интегральный синус, разложение которого в степенной ряд
имеет вид [12]
Si
(
|
X
|
)
π
=
1
π
|
X
| − |
X
|
3
18
+
|
X
|
5
600
− |
X
|
7
35280
!
+
ε
(
|
X
|
)
,
(10)
где
ε
(
|
X
|
)
— остаточный член ряда. При
|
X
|
<
1
имеем знакочере-
дующийся убывающий ряд. По теореме Лейбница остаточный член
такого ряда по модулю меньше первого отброшенного члена ряда:
ε
(
|
X
|
)
<
(9
π
9!)
−
1
<
10
−
7
. Таким образом, при
|
X
|
<
1
отбрасыва-
ние члена
ε
(
|
X
|
)
в (10) позволяет получить абсолютную погрешность
расчета функции
F
(
X
)
не более
10
−
7
.
При
|
X
| ≥
1
можно использовать аппроксимацию [12]:
Si
(
|
X
|
) =
π
2
−
ϕ
(
|
X
|
) cos (
|
X
|
)
−
γ
(
|
X
|
) sin (
|
X
|
) ;
ϕ
(
X
) =
1
X
X
8
+
a
1
X
6
+
a
2
X
4
+
a
3
X
2
+
a
4
X
8
+
b
1
X
6
+
b
2
X
4
+
b
3
X
2
+
b
4
+
+
ε
1
(
X
)
,
|
ε
1
(
X
)
|
<
5
∙
10
−
7
;
(11)
γ
(
X
) =
1
X
2
X
8
+
a
0
1
X
6
+
a
0
2
X
4
+
a
0
3
X
2
+
a
0
4
X
8
+
b
0
1
X
6
+
b
0
2
X
4
+
b
0
3
X
2
+
b
0
4
+
+
ε
2
(
X
)
,
|
ε
2
(
X
)
|
<
3
∙
10
−
7
,
где
a
1
= 38
,
027264
, a
2
= 265
,
187033
, a
3
= 335
,
677320
, a
4
= 38
,
102495;
b
1
= 40
,
021433
, b
2
= 322
,
624911
, b
3
= 570
,
236280
, b
4
= 157
,
105423;
a
0
1
= 42
,
242855
, a
0
2
= 302
,
757865
, a
0
3
= 352
,
018498
, a
0
4
= 21
,
821899;
b
0
1
= 48
,
196927
, b
0
2
= 482
,
485984
, b
0
3
= 1114
,
978885
, b
0
4
= 449
,
690326
.
Если в (11) отбросить члены
ε
1
(
X
)
и
ε
2
(
X
)
, то из (9)–(11) запишем
аппроксимационную формулу, которая при всех значениях
X
позво-
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 6
45
