14 / 32
Простое УПИ сложно для численного исследования в связи с вы-
сокой размерностью уравнения. В УПИ дополнительные размерности,
отвечающие направлениям распространения излучения, сочетаются с
гиперболическим характером задачи, представляющей совокупность
одномерных уравнений переноса во всех возможных и допускаемых
задачей направлениях. Это приводит к высокой ресурсоемкости мето-
дов решения УПИ, что во многих случаях отрицательно сказывается
на возможностях метода.
Математическая модель.
Запишем полную систему уравнений
РМГД в пространственной области
D
на конечном отрезке времени
[0
,
T
]
с учетом полной единичной сферы направлений распростране-
ния излучения
Ω
[28, 29]. Рассмотрим квазистационарную моноэнерге-
тическую модель распространения излучения и МГД-модель с идеаль-
ной проводимостью плазмы. Подобный подход продиктован стремле-
нием получить физическое и качественное представление о процессах,
разворачивающихся в окрестности компактного объекта, не усложняя
модель излишним требованием высокого уровня количественного со-
ответствия.
1.
Уравнение неразрывности для вещества
∂ρ
∂t
+
∇
ρv
= 0
,
(1)
где
ρ
(
t, x
)
— плотность плазмы, г/см
3
;
v
(
t, x
) = [
v
1
, v
2
, v
3
]
т
— скорость
вещества, см/с;
x
∈ D
, t
∈
[0
,
T
]
— радиус-вектор и момент времени.
2.
УПИ
∂I
(
t, x, ω
)
∂t
+
L
I
(
t, x, ω
) =
S
I
(
t, x, ω
) +
Q
(
t, x, ω
) ;
L
I
(
t, x, ω
) =
ω
∇
I
(
t, x, ω
) +
k
(
t, x
)
I
(
t, x, ω
) ;
S
I
(
t, x, ω
) =
β
(
t, x
)
Z
Ω
Γ(
t, x, ω, ω
0
)
I
(
t, x, ω
0
)
dω
0
,
(2)
где
L
,
S
— операторы переноса и рассеяния;
I
(
t, x, ω
)
— интен-
сивность излучения, эрг/
(
с
∙
см
2
)
, распространяющегося вдоль на-
правления вектора
ω
∈
Ω
, в точке с радиус-вектором
x
в мо-
мент времени
t
;
k
(
t, x
)
— коэффициент ослабления, см
−
1
,
k
=
α
+
+
β
;
α
(
t, x
)
, β
(
t, x
)
— коэффициенты поглощения и рассеяния из-
лучения в веществе, см
−
1
;
Γ(
t, x, ω, ω
0
)
— индикатриса рассеяния,
равная вероятности изменения направления полета фотона с
ω
0
на
ω
:
Z
Ω
Γ(
t, x, ω, ω
0
)
dω
0
= 1
,
Q
(
t, x, ω
)
— массовый источник
излучения. Если источником является равновесное излучение, то
Q
(
t, x, ω
) =
α
(
t, x
)
I
0
(
t, x
)
,
I
0
(
t, x
) =
2 ˜
k
4
π
4
(
T
(
t, x
))
4
15
h
3
c
2
,
h
= 6
,
62
×
76
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 2