2 / 9
Описание диффузии и броуновского движения как пуассоновских
случайных процессов предложено в работах [1, 2], там же получе-
ны уравнения, описывающие поведение соответствующих характери-
стических функций. Задача нахождения стационарных распределений
для стохастической системы взаимодействующих частиц рассмотрена
в работе [3], а функции распределения флуктуаций неравномерности
вращения Земли получены в работе [4]. Цель настоящей работы — на-
хождение решений уравнения для характеристической функции флук-
туаций скорости броуновской частицы и определение первых четырех
моментов распределения этих флуктуаций.
Рассмотрим одномерное броуновское движение частицы, если воз-
действие частиц среды на броуновскую частицу описывается общим
пуассоновским процессом
W
ξ
(
t
)
со скачками, распределенными по
нормальному закону. В этом случае пуассоновский процесс
W
ξ
(
t
)
за-
дается характеристической функцией вида [2]
g
ξ
(
μ
ξ
, t
) = exp exp
−
1
2
D
ξ
μ
2
ξ
−
1
ν
τ
t ,
где
D
ξ
= 2
γ
0
ν
τ
kT
m
— дисперсия пуассоновского процесса
W
ξ
(
t
)
, харак-
теризующая воздействие частицы среды на броуновскую частицу при
единичном соударении;
γ
0
— коэффициент вязкого трения;
k
— посто-
янная Больцмана;
T
— абсолютная температура среды;
ν
τ
— интенсив-
ность пуассоновского процесса;
m
— масса броуновской частицы.
Представим уравнение, описывающее одномерное броуновское
движение, в виде дифференциального уравнения Ито [5]
dV
=
−
γ
0
V dt
+
dW
ξ
(
t
)
.
(1)
Здесь
V
— скорость броуновской частицы. Решение уравнения (1) име-
ет вид
V
(
t
) =
t
Z
−∞
G
(
t, τ
)
dW
ξ
(
τ
)
,
где
G
(
t, τ
) = exp [
−
γ
0
(
t
−
τ
)]
.
(2)
Одномерную характеристическую функцию флуктуаций скорости
движения
V
броуновской частицы можно представить как [2, 6]
g
(
λ
;
t
) = exp
ν
τ
t
Z
−∞
exp
−
1
2
D
ξ
G
2
(
t, τ
)
λ
2
−
1
dτ
.
(3)
Из формулы (3) можно определить первые четыре момента функции
28
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2016. № 1