5 / 9
D
U
4
=
∂
4
g
U
(
λ
U
)
(
i∂λ
U
)
4
λ
=0
=
= 3
ν
2
τ
N
2
D
2
ξ
t
Z
−∞
G
2
U
(
t, τ
)
dτ
2
+
1
N
t
Z
−∞
G
4
U
(
t, τ
)
dτ
=
= 3
β
γ
0
kTh
2
mμ
2
N
2
1 +
β
ν
τ
N
.
В соответствии с формулой (6) получим выражение для эксцесса
функции распределения флуктуаций напряжения на электролитиче-
ской ячейке
κ
U
4
= 3
β
ν
τ
N
.
(11)
Согласно выражению (11), эксцесс для флуктуаций напряжения на
электролитической ячейке, а следовательно, и мера Кульбака (7), про-
порциональна верхней частоте
β
фильтрации сигнала электролитиче-
ской ячейкой и обратно пропорциональна числу ионов
N
в малом
объеме электролита.
Проведенное описание основывалось на предположении, что в пра-
вой части уравнения (1) второе слагаемое, характеризующее случай-
ное воздействие частиц среды на броуновскую частицу, представляет
собой производную общего пуассоновского процесса
W
ξ
(
t
)
. Однако в
работе [7] рассмотрен более общий случай, когда уравнение (1) имеет
вид
dV
=
−
V dW
γ
(
t
)+
dW
ξ
(
t
)
. Здесь
W
γ
(
t
)
— процесс, описывающий
флуктуации коэффициента вязкого трения и задаваемый характеристи-
ческой функцией
g
γ
(
μ
γ
, t
) = exp [(exp (
iD
γ
μ
γ
)
−
1)
ν
τ
t
]
,
(12)
где
D
γ
=
γ
0
τ
0
— дисперсия пуассоновского процесса
W
γ
(
t
)
,
τ
0
=1
/ν
τ
—
постоянная времени, характеризующая среднее время между очеред-
ными соударениями частиц среды с броуновской частицей.
Для указанного случая в работе [7] в предположении, что процесс
W
ξ
(
t
)
является винеровским процессом, а в разложении экспоненты
exp (
iD
γ
μ
γ
)
из формулы (12) сохранены первые три слагаемых, было
получено уравнение
λ
d
2
g
(
λ
)
dλ
2
−
ν
τ
2
γ
0
dg
(
λ
)
dλ
−
2
ν
τ
kT
γ
0
m
λg
(
λ
) = 0
.
(13)
В общем случае решение уравнения (13) имеет вид [11]
g
(
λ
) =
λ
a
+1/2
Z
a
+1/2
i
√
bλ ,
(14)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2016. № 1
31