6 / 9
где
a
=
ν
τ
γ
0
;
b
= 2
ν
τ
γ
0
kT
m
;
Z
a
+1/2
i
√
bλ
— цилиндрическая функ-
ция [12].
Характеристическая функция (14) должна удовлетворять усло-
вию [5]
g
(
λ
)
|
λ
=0
= 1
.
(15)
Представим решение (14) в виде [11]
g
(
λ
) =
λ
a
+1/2
C
1
J
a
+1/2
i
√
bλ
+
C
2
N
a
+1/2
i
√
bλ ,
(16)
где
J
a
+1/2
i
√
bλ
,
N
a
+1/2
i
√
bλ
— функции Бесселя первого и вто-
рого рода;
C
1
,
C
2
— произвольные константы. Применение условия
(15) для выражения (16) дает следующие значения констант:
C
1
= 0;
C
2
=
−
π
Γ (
a
+ 1/2)
i
√
b
2
!
a
+1/2
,
где
Γ (
a
+ 1/2)
— гамма-функция. Тогда окончательно получаем реше-
ние (16):
g
(
λ
) =
−
π
Γ (
a
+ 1/2)
i
√
bλ
2
!
a
+1/2
N
a
+1/2
i
√
bλ .
Первые четыре момента функции распределения флуктуаций скорости
броуновской частицы имеют вид
D
1
=
∂g
(
λ
)
i∂λ
λ
=0
= 0;
D
2
=
∂
2
g
(
λ
)
(
i∂λ
)
2
λ
=0
=
2
ν
τ
2
ν
τ
−
γ
0
kT
m
;
(17)
D
3
=
∂
3
g
(
λ
)
(
i∂λ
)
3
λ
=0
= 0;
D
4
=
∂
4
g
(
λ
)
(
i∂λ
)
4
λ
=0
=
12
ν
2
τ
(2
ν
τ
−
3
γ
0
) (2
ν
τ
−
γ
0
)
k
2
T
2
m
2
.
(18)
В этом случае второй (
D
2
(17)) и четвертый (
D
4
(18)) моменты со-
впадают со вторым (
k
2
) и четвертым (
k
4
) кумулянтами [13]. Эксцесс
функции распределения приобретает вид
κ
4
=
k
4
−
3
k
2
2
k
2
2
=
D
4
−
3
D
2
2
D
2
2
=
6
γ
0
2
ν
τ
−
3
γ
0
,
а при условии
ν
τ
γ
0
запишем формулу
κ
4
= 3
γ
0
/ν
τ
, совпадающую
с выражением (6) и с формулой, полученной в работе [7] для первого
приближения.
32
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2016. № 1