2 / 9
объясняющие поведение реальных данных [1]. Одна из таких мо-
делей — модель авторегрессии со случайными коэффициентами [2].
Для оценивания параметров этой модели обычно используется ме-
тод наименьших квадратов, дающий при умеренных предположени-
ях о вероятностном распределении временн´ого ряда состоятельные
и асимптотически нормальные оценки [2]. Однако на практике дан-
ные наблюдаются с погрешностью. Особенно в наблюдениях опасны
погрешности аномально большой величины, называемые выбросами.
Случаясь достаточно редко, они могут существенно исказить результа-
ты оценивания. С асимптотической точки зрения это может привести
к потере состоятельности оценок, когда с увеличением объема наблю-
дений временн´ого ряда предельное значение оценки не совпадает с
оцениваемым параметром. Количественной мерой такого расхожде-
ния служит функционал влияния оценки, определенный для модели
независимых наблюдений в работе [3] и примененный к временн ´ым
рядам в работе [4].
В настоящей статье изучено асимптотическое поведение оценки
наименьших квадратов при различных моделях выбросов в наблюде-
ниях временн´ого ряда, описываемого авторегрессионным уравнением
со случайными коэффициентами. Для этого вычислен ее функционал
влияния и исследовано его поведение в зависимости от параметров
авторегрессионного уравнения и параметров модели загрязнения на-
блюдений.
Процесс авторегрессии.
Рассмотрим временн´ой ряд
X
t
, удовле-
творяющий уравнению авторегрессии
X
t
= (
ϕ
0
+
η
t
)
X
t
−
1
+
ε
t
.
(1)
В уравнении (1) авторегрессионный коэффициент
ϕ
0
+
η
t
есть сумма
неслучайного параметра
ϕ
0
и случайного процесса
η
t
. Если
η
t
= 0
, то
уравнение (1) становится обычным авторегрессионным уравнением.
Далее предположим, что для любого
t
= 0
,
±
1
,
±
2
, . . .
у случайных
величин
η
t
и
ε
t
есть нулевые математические ожидания
E
ε
t
= 0
,
E
η
t
= 0
(2)
и конечные дисперсии
D
η
t
=
ω
2
<
∞
,
D
t
=
σ
2
<
∞
,
(3)
удовлетворяющие условию
ω
2
+
σ
2
<
1
.
(4)
Также предположим, что случайные величины
{
η
t
, ε
t
, t
=0
,
±
1
,
±
2
, . . .
}
независимы. При выполнении этих условий существует стационарное
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2016. № 2
17