4 / 9
называемое также распределением Тьюки с плотностью
f
(
x
) = (1
−
δ
)
1
√
2
πτ
e
−
x
2
2
τ
2
+
δ
1
√
2
πσ
e
−
x
2
2
σ
2
,
0
≤
δ
≤
1
, σ > τ.
(8)
Последовательность случайных величин, имеющих распределение
Тьюки, имитирует типичное на практике загрязнение последователь-
ности центрированных нормальных величин с дисперсией
τ
2
не-
большой (0,01–0,15) долей
δ
центрированных нормальных величин с
дисперсией
σ
2
> τ
2
. Можно также представить инновационный вы-
брос как импульс на входе динамической системы (1), а процесс
X
t
—
как реакцию системы на это воздействие (импульс). Отметим, что
инновационный выброс воздействует не только на текущее наблюде-
ние, но и на последующие. Таким образом, в инновационной модели
Y
t
=
X
t
, где
X
t
удовлетворяет (1), в котором плотность распределения
вероятности
f
(
x
)
случайной величины
ε
t
имеет вид (8).
Оценка наименьших квадратов.
Одна из основных задач при
исследовании уравнения (1) — оценивание его параметра
ϕ
0
по на-
блюдениям
Y
0
, Y
1
, . . . , Y
n
. Наиболее распространенным методом оце-
нивания параметра
ϕ
0
является метод наименьших квадратов. Оценка
наименьших квадратов
ˆ
ϕ
n
параметра
ϕ
0
определяется как точка ми-
нимума функции
L
n
(
ϕ
) =
n
X
t
=1
(
Y
t
−
ϕY
t
−
1
)
2
,
(9)
или, что то же самое, как решение уравнения
S
n
(
ϕ
) = 0
,
(10)
где
S
n
(
ϕ
) =
−L
0
n
(
ϕ
) =
n
X
t
=1
(
Y
t
−
ϕY
t
−
1
)
Y
t
−
1
.
(11)
Решая уравнение (10), получаем
ˆ
ϕ
n
=
n
P
t
=1
Y
t
Y
t
−
1
n
P
t
=1
Y
2
t
−
1
.
Если в (6) выполнено
δ
= 0
, т.е.
Y
t
=
X
t
для всех
t
, то при выпол-
нении условий (2)–(4) оценка
ˆ
ϕ
n
состоятельна, т.е. с увеличением
n
стремится по вероятности к истинному значению параметра
ϕ
0
[2].
Определение робастности оценки.
Если
δ
6
= 0
в (6), то оценка
ˆ
ϕ
n
не обязана быть состоятельной. Предположим, что в этом случае су-
ществует предел
lim
n
→∞
ˆ
ϕ
n
=
ϕ
(
δ
)
.
Очевидно, что оценка
ˆ
ϕ
n
тем лучше,
чем меньше разность
ϕ
(
δ
)
−
ϕ
0
.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2016. № 2
19