5 / 9
Обозначим через
IF
(
ϕ
(
δ
)
, F
ζ
)
производную
ϕ
(
δ
)
по
δ
в нуле:
IF
(
ϕ
(
δ
)
, F
ζ
) =
ϕ
0
(0)
.
Производная
IF
(
ϕ
(
δ
)
, F
ζ
)
называется функцио-
налом влияния оценки
ˆ
ϕ
n
. Функционал влияния
IF
(
ϕ
(
δ
)
, F
ζ
)
зависит
от предельного значения
ϕ
(
δ
)
, функции распределения вероятности
F
ζ
выброса
ζ
t
и согласно определению является линейным членом раз-
ложения асимптотического смещения
ϕ
(
δ
)
−
ϕ
0
предельного значения
ϕ
(
δ
)
оценки
ˆ
ϕ
n
:
ϕ
(
δ
)
−
ϕ
0
=
IF
(
ϕ
(
δ
)
, F
ζ
)
δ
+
o
(
δ
)
, δ
→
0
.
Обозначим через
K
множество возможных функций распределения
вероятности
F
ζ
случайной величины
ζ
t
. Оценка называется робастной,
если коэффициент чувствительности
GE
(
ϕ
(
δ
)
,
K
)
к большой погреш-
ности, определяемый как
GE
(
ϕ
(
δ
)
,
K
) = sup
F
ζ
∈
K
IF
(
ϕ
(
δ
)
, F
ζ
)
будет ко-
нечным.
Вычисление функционала влияния оценки наименьших квад-
ратов.
Сначала вычислим функционал влияния для аддитивной моде-
ли погрешностей наблюдений.
Теорема 1.
Пусть выполнены условия (2)–(4) и наблюдения
Y
0
, Y
1
, . . . , Y
n
авторегрессионного уравнения (1) описываются моде-
лью (5)
,
(6). Тогда функционал влияния оценки наименьших квадратов
ˆ
ϕ
n
параметра
ϕ
0
имеет вид
IF
(
ϕ
(
δ
)
, F
ζ
) =
−
ϕ
0
E
ζ
2
0
E
X
2
0
.
(12)
J
Поскольку случайные последовательности
X
t
,
ν
t
и
ζ
t
являются
стационарными и эргодическими, (см. работу [8]) стационарными и
эргодическими также будут последовательности
τ
1
n
=
1
n
n
X
t
=1
Y
t
Y
t
−
1
, τ
2
n
=
1
n
n
X
t
=1
Y
2
t
−
1
, n
= 1
,
2
, . . .
(13)
Согласно закону больших чисел, для эргодических последовательно-
стей [8] существуют пределы
lim
n
→∞
τ
1
n
= E(
Y
1
Y
0
)
,
lim
n
→∞
τ
2
n
= E
Y
2
0
.
Поэтому
ϕ
(
δ
) = lim
n
→∞
ˆ
ϕ
n
= lim
n
→∞
τ
1
n
τ
2
n
=
E(
Y
1
Y
0
)
E
Y
2
0
.
(14)
Подставляя в (14) выражение для
Y
t
из (5), учитывая (6) и независи-
мость величин в
X
t
,
ν
t
и
ζ
t
, получаем
E(
Y
1
Y
0
) = E(
X
1
+
ν
1
ζ
1
)(
X
0
+
+
ν
0
ζ
0
) = E(
X
1
X
0
) +
δ
2
(E
ζ
0
)
2
,
E
Y
2
0
= E(
X
0
+
ν
0
ζ
0
)
2
= E
X
2
0
+
δ
E
ζ
2
0
.
Следовательно,
ϕ
(
δ
) =
E(
X
1
X
0
) +
δ
2
(E
ζ
0
)
2
E
X
2
0
+
δ
E
ζ
2
0
.
Отметим, что
E(
X
1
X
0
) = E((
ϕ
0
+
η
1
)
X
0
+
ζ
1
)
X
0
=
ϕ
0
E
X
2
0
.
(15)
20
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2016. № 2