3 / 9
и эргодическое решение уравнения (1), представимое в виде сходя-
щегося с вероятностью единицы ряда
X
t
=
∞
X
i
=0
δ
i
ε
t
−
i
,
где
δ
0
= 1
и
δ
i
=
i
−
1
Y
j
=0
(
a
+
η
i
−
j
)
,
i
= 1
,
2
, . . .
[2, 5]. Далее под
X
t
будем понимать
именно стационарное решение уравнения (1).
Модели загрязнения наблюдений.
В теории временн ´ых рядов
наиболее распространены три модели погрешностей наблюдений:
1) аддитивная; 2) замещающая; 3) инновационная [6].
В аддитивной модели вместо процесса
X
t
наблюдается процесс
Y
t
вида
Y
t
=
X
t
+
ν
t
ζ
t
,
(5)
где
ν
t
— случайный процесс с независимыми значениями,
P
{
ν
t
= 1
}
=
δ,
P
{
ν
t
= 0
}
= 1
−
δ,
0
< δ <
1
.
(6)
Другими словами, на наблюдение
X
t
случайным образом с вероят-
ностью
δ
накладывается выброс
ζ
t
, который можно интерпретировать
как результат сбоя некоторых узлов измерительного устройства. Пред-
положим, что
ζ
t
— процесс с независимыми значениями, общей для
всех
ζ
t
функцией распределения
F
ζ
и конечной дисперсией
σ
2
ζ
= D
ζ
t
.
В замещающей модели наблюдения
Y
t
имеют вид
Y
t
= (1
−
ν
t
)
X
t
+
ν
t
ζ
t
,
(7)
где величины
ν
t
и
δ
описываются (6), т.е. с вероятностью
δ
вместо про-
цесса
X
t
наблюдается процесс
ζ
t
. Таким образом, замещающая модель
имитирует полный отказ измерительной аппаратуры с вероятностью
δ
.
Обычно в моделях (5)–(7) процесс
ζ
t
является гауссовым с диспер-
сией, значительно большей, чем дисперсия наблюдаемого временн ´ого
ряда
X
t
. Предположим, что случайные процессы
X
t
,
ν
t
и
ζ
t
не зависят
друг от друга и являются стационарными в широком смысле. Отметим,
что в моделях (5)–(7) выброс
ζ
t
в фиксированный момент времени
t
влияет только на наблюдаемый процесс в этот же момент времени и
не влияет на все последующие наблюдения.
Инновационная модель выбросов — специфическая модель, при-
сущая только процессам авторегрессионного типа: процессу авторе-
грессии, процессу авторегрессии — скользящего среднего и процессу
авторегрессии — проинтегрированного скользящего среднего. В моде-
ли (1) инновационный выброс — выброс для обновляющего (иннова-
ционного) процесса
ε
t
, заключающийся в том, что процесс
ε
t
имеет
не просто нормальное, а загрязненное нормальное распределение (4),
18
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2016. № 2