7 / 9
конечной дисперсией, и оценка наименьших квадратов на этом мно-
жестве не будет робастной.
Найдем зависимость
IF
(
ϕ
(
δ
)
, F
ζ
)
от параметров
ϕ
0
,
σ
,
ω
. В со-
ответствии с (1) и независимости процесса
X
0
от величин
η
1
и
ε
1
имеем
E
X
2
1
= E((
ϕ
0
+
η
1
)
X
0
+
ε
1
)
2
= E(
ϕ
0
+
η
1
)
2
E
X
2
0
+
σ
2
= (
ϕ
2
0
+
+
ω
2
)E
X
2
0
+
σ
2
.
Процесс
X
t
стационарный, поэтому
E
X
2
1
= E
X
2
0
, тогда
E
X
2
0
= (
ϕ
2
0
+
ω
2
)E
X
2
0
+
σ
2
,
отсюда
E
X
2
0
=
σ
2
1
−
ϕ
2
0
−
ω
2
.
Подставляя это выражение в (16) и (19), для аддитивной модели вы-
бросов получаем
ϕ
(
δ
) =
ϕ
0
σ
2
+
δ
2
(1
−
ϕ
2
0
−
ω
2
)(E
ζ
0
)
2
σ
2
+
δ
(1
−
ϕ
2
0
−
ω
2
)E
ζ
2
0
;
IF
(
ϕ
(
δ
)
, F
ζ
) =
−
ϕ
0
σ
2
(1
−
ϕ
2
0
−
ω
2
)E
ζ
2
0
,
(20)
а для замещающей модели —
ϕ
(
δ
) =
(1
−
δ
)
2
ϕ
0
σ
2
+
δ
2
(1
−
ϕ
2
0
−
ω
2
)(E
ζ
0
)
2
(1
−
δ
)
σ
2
+
δ
(1
−
ϕ
2
0
−
ω
2
)E
ζ
2
0
;
IF
(
ϕ
(
δ
)
, F
ζ
) =
−
ϕ
0
σ
2
[
σ
2
+ (1
−
ϕ
2
0
−
ω
2
)E
ζ
2
0
]
.
(21)
Согласно формуле (20), абсолютная величина функционала влияния
IF
(
ϕ
(
δ
)
, F
ζ
)
уменьшается до нуля с увеличением значения
σ
2
к беско-
нечности и значения
ω
2
до максимально возможного значения
1
−
ϕ
2
0
,
при котором сохраняется свойство стационарности процесса
X
t
. Этот
на первый взгляд парадоксальный факт объясняется тем, что при боль-
ших значениях
σ
2
,
ω
2
и фиксированном математическом ожидании
E
ζ
2
0
именно большие значения
σ
2
и
ω
2
являются главной причиной
ухудшения качества оценки
ˆ
ϕ
n
, вклад в это ухудшение величины
E
ζ
2
0
сравнительно невелик.
С возрастанием абсолютной величины параметра
ϕ
0
до максималь-
но возможного значения
√
1
−
ω
2
абсолютная величина
IF
(
ϕ
(
δ
)
, F
ζ
)
сначала увеличивается от нуля до максимального значения, достигае-
мого в точке
ϕ
0
=
r
1
−
ω
2
3
, а затем уменьшается до нуля.
Следовательно, в аддитивной модели погрешностей наблюдений
оценка наименьших квадратов проявляет относительную устойчи-
вость лишь при больших значениях
σ
2
,
ϕ
0
≈
0
и
ω
2
≈
1
−
ϕ
2
0
.
В замещающей модели погрешностей наблюдений (см. (21)) оцен-
ка наименьших квадратов проявляет относительную устойчивость
22
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2016. № 2