6 / 9
Поэтому
ϕ
(
δ
) =
ϕ
0
E
X
2
0
+
δ
2
(E
ζ
0
)
2
E
X
2
0
+
δ
E
ζ
2
0
(16)
и
IF
(
ϕ
(
δ
)
, F
ζ
) =
d
dδ
ϕ
(
δ
)
δ
=0
=
−
ϕ
0
E
ζ
2
0
E
X
2
0
.
I
(17)
Теперь найдем функционал влияния для замещающих выбросов.
Теорема 2.
Пусть выполнены условия (2)–(4) и наблюдения
Y
0
, Y
1
, . . . , Y
n
авторегрессионного уравнения (1) описываются моде-
лью (6), (7). Тогда функционал влияния оценки наименьших квадратов
ˆ
ϕ
n
параметра
ϕ
0
имеет вид
IF
(
ϕ
(
δ
)
, F
ζ
) =
−
ϕ
0
(E
X
2
0
+ E
ζ
2
0
)
E
X
2
0
.
(18)
J
Так же, как и при доказательстве теоремы 1, получим, что
ϕ
(
δ
)
имеет вид (14). Поскольку в (14) случайные величины
Y
1
и
Y
0
опреде-
ляются по формуле (7), с учетом (6) и независимости величин
X
t
,
ν
t
и
ζ
t
, определяем
E(
Y
1
Y
0
) = E((1
−
ν
1
)
X
1
+
ν
1
ζ
1
)(((1
−
ν
0
)
X
0
+
ν
0
ζ
0
) =
= (1
−
δ
)
2
E(
X
1
X
0
) +
δ
2
(E
ζ
0
)
2
= (1
−
δ
)
2
ϕ
0
E
X
2
0
+
δ
2
(E
ζ
0
)
2
,
E
Y
2
0
= E((1
−
ν
0
)
X
0
+
ν
0
ζ
0
)
2
= (1
−
δ
)E
X
2
0
+
δ
E
ζ
2
0
.
Поэтому
ϕ
(
δ
) =
(1
−
δ
)
2
ϕ
0
E
X
2
0
+
δ
2
(E
ζ
0
)
2
(1
−
δ
)E
X
2
0
+
δ
E
ζ
2
0
,
(19)
отсюда вытекает утверждение теоремы 2.
Если выбросы описываются инновационной моделью, то оценка
наименьших квадратов остается состоятельной. Действительно, в этом
случае
Y
t
=
X
t
, поэтому
ϕ
(
δ
) =
E(
X
1
X
0
)
E
X
2
0
. Следовательно, оценка
ϕ
(
δ
)
описывается формулами (16) и (19), в которых
δ
= 0
,
E
ζ
0
= 0
,
E
ζ
2
0
= 0
,
т.е.
lim
n
→∞
ˆ
ϕ
n
=
ϕ
0
.
Анализ функционала влияния.
Из формул (12) и (19) следует,
что при наличии аддитивных или замещающих выбросов
ζ
t
оцен-
ка наименьших квадратов будет смещенной всегда за исключением
случая
ϕ
0
= 0
, и смещение будет всегда отрицательным. Это смеще-
ние будет тем больше, чем больше дисперсия
D
ζ
t
выброса, поскольку
D
ζ
t
= E
ζ
2
t
+(E
ζ
t
)
2
. Кроме того, с увеличением дисперсии
D
ζ
t
функци-
онал
IF
(
ϕ
(
δ
)
, F
ζ
)
неограниченно возрастает, так что для двух моделей
выбросов
GE
(
ϕ
(
δ
)
,
K
) =
∞
на множестве всех случайных выбросов с
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2016. № 2
21