4 / 14
Применение двойного квантования в диамагнетизме Ландау
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 4
17
Здесь было применено аналогичное разложение векторного потенциала и ис-
пользовано соотношение
.
p p q q
Отметим, что малость операторов
1
H
и
2
,
H
о которой упоминалось выше, подтверждается наличием в выражениях (7)
и (12) множителей
1 /
V
и
2
1/ .
V
Магнитная энергия невзаимодействующих электронов.
Вычислим маг-
нитную энергию системы невзаимодействующих электронов. Пусть в нулевом
магнитном поле система находится в состоянии
0
с энергией
0
.
E
В квантово-
механической теории возмущений поправку к энергии системы первого поряд-
ка необходимо вычислять по формуле
1
0 1 0
|
|
,
E
H
(13)
а поправку второго порядка, состоящую из двух частей, — по формуле
1
2
2
0 2 0
0 1
1 0
2
2
0
0
|
|
|
|
.
E
H
H
H E E
E H
P
(14)
Здесь
P
— обозначение так называемого главного значения соответствующего
оператора, т. е. предписание действовать ему с таким условием, чтобы всегда
отбрасывать все случаи обращения знаменателя в нуль.
Вычислим поправку первого порядка, для чего подставим (7) в (13):
1
0
,
0
,
, ,
1
,
|
|
.
p s
p q s
q p s
e
E
p A q
a a
m V
(15)
Очевидно, появившееся в выражении (15) среднее от произведения двух опера-
торов рождения и уничтожения отлично от нуля только при
0,
q
причем в
последнем случае оно равно числу одноэлектронного заполнения
,
p s
n
с характе-
ристиками
,
p s
в состоянии
0
.
Следует отметить, что любые два оператора
уничтожения или рождения всегда антикоммутируют друг с другом, а операто-
ры рождения с операторами уничтожения антикоммутируют не всегда. Указан-
ные перестановочные соотношения, по существу, являются удобной математи-
ческой записью свойства антисимметрии многоэлектронных волновых функ-
ций. Как непосредственное следствие перестановочных соотношений Ферми
получаем, что так называемый оператор числа электронов
,
,
,
p s
p s
p s
n a a
—
эрмитовый оператор, поэтому его собственные значения — действительные
числа (1 или 0). Изложенное подтверждает хорошо известный факт: в соответ-
ствии с принципом Паули каждое одноэлектронное состояние
,
p s
не может
быть заполнено более чем одним электроном. Введем также оператор полного
числа электронов
,
,
,
n
p s
p s
p s
N a a
и потребуем, чтобы любое рассматриваемое
для системы свободных электронов многоэлектронное состояние было соб-
ственным для этого оператора с собственными числами, точно равными полно-
му числу электронов
N nV
в системе
,
n
N N
где
— волновая функция