16 / 21
Оптимизация сингулярных чисел матриц, зависящих от параметров…
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 5
61
Приближенное решение получено с использованием гибридного алгоритма
M-PCASFCE. При
6
m
определены следующие значения элементов век-
тора переменных управления:
6
1
2, 00781;
x
6
2
1, 50781;
x
6
3
4, 88281;
x
6
( )
f x
2
0, 39139 10 .
Зависимость переменных управления
1
,
x
2
,
x
3
,
x
а также кри-
териальной функции
( )
f x
от плотности
m
развертки кривой Пеано в заключи-
тельной фазе локального поиска, определяющей глобальное решение, приведе-
на на рис. 2,
в
.
Полученное решение представляет диагональная матрица, содержащая
приближенные сингулярные числа:
6
( ) diag(6, 99944; 6, 00065; 5, 00234; 4; 3, 00390; 2,
00195; 0, 996086
).
x
Относительную погрешность вычисления сингулярных чисел определяем в
виде
*
*
( ) ( )
( )
,
( )
F
F
x x
x
x
где
F
— матричная норма Фробениуса. При
6
m
получено
6
( ) 0, 000167.
x
Это подтверждает достаточно высокую точность настройки
сингулярных чисел матрицы
( )
A x
на заданный сингулярный спектр
*
( ).
x
Выводы.
Рассмотрены экстремальные задачи для сингулярных чисел матриц,
зависящих от параметров. Предложен подход к решению экстремальных задач с
использованием новых гибридных алгоритмов глобальной недифференцируемой
оптимизации. Исследование пространства переменных управления проведено
стохастическим методом, реализуемым кратным алгоритмом столкновения ча-
стиц. В первом гибридном алгоритме M-PCALMSI градиентная информация
определена для сглаживающих аппроксимаций не всюду дифференцируемых
критериальных функций. Во втором гибридном алгоритме M-PCASFCE локаль-
ный поиск реализован без использования производных. Решение модельных за-
дач оптимизации сингулярных чисел матриц, зависящих от конечного числа па-
раметров, получено с достаточной для приложений точностью.
ЛИТЕРАТУРА
1.
Nicoud F., Toda H.B., Cabrit O., Bose S., Lee J.
Using singular values to build a subgrid-
scale model for large eddy simulations // Physics of Fluids. 2011. Vol. 23. No. 8.
P. 085106-1-085106-12.
2.
Vaidya P.G., Anand S.P.S., Nagaraj N.
A nonlinear generalization of singular value decom-
position and its applications to mathematical modelling and chaotic cryptanalysis // Acta Ap-
plicandae Mathematicae. 2010. Vol. 112. No. 2. P. 205–221.
3.
Danforth C.M., Kalnay E.
Using singular value decomposition to parametrize state-dependent
model errors // Journal of the Atmospheric Sciences. 2008. Vol. 65. No. 4. P. 1467–1478.