Previous Page  10 / 21 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 10 / 21 Next Page
Page Background

Оптимизация сингулярных чисел матриц, зависящих от параметров…

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 5

55

Шаг 2.

Определить первое значение

0, 1,...,

r

при котором для

 

 

1/ 2

r

будет выполнено неравенство

 



2

, ,

, ,

;

k

k

k

k

f x w p q f x p q

w

если такое

0

r r

найдено, то принять

 

  

0

1

2 ,

.

r

k

k

k

k

k

x x w

Перейти к шагу 1.

Шаг 3.

Критерий останова:

0.

k

w

Локальную сходимость представленного выше алгоритма минимизации

LMSI при использовании двухпараметрических сглаживающих аппроксимаций

критериальной функции для случая простых ограничений устанавливает сле-

дующее утверждение.

Теорема 3 [28].

Пусть выбраны параметры

 

0,

0.

p q

Если числа

, ,

j

j

a b

,

j J

конечны и градиент функции

, ,

f x p q

удовлетворяет условию Липши-

ца, то во всякой предельной точке последовательности

,

k

x

0, 1,...,

k

удовле-

творяются необходимые условия минимума.

Во многих практических приложениях физические условия, учитываемые

при формулировке экстремальной задачи, могут налагать ограничения на моде-

лирование. Поэтому критериальные функции обычно не обладают такими

сильными математическими свойствами, как липшицева непрерывность, диф-

ференцируемость и др. При наличии шума реализация процедур вычисления

производных становится затруднительной и ненадежной. Кроме того, критери-

альные функции, вычисление которых проводят с использованием стандартных

коммерческих кодов, следует рассматривать как заданные в форме черного

ящика. Указанные причины приводят к необходимости применения методов

оптимизации без вычисления производных. К числу актуальных методов этого

класса относят метод редукции размерности задачи (метод кривой, заполняю-

щей пространство), реализованный, например, в гибридном алгоритме

M-PCASFC [29]. Выбор метода редукции размерности задачи, который предна-

значен собственно для поиска глобального экстремума, обусловлен тем, что во

многих случаях градиентные алгоритмы сходятся медленно и при очень боль-

ших областях поиска метод редукции оказывается недостаточно эффективным.

Для решения задачи липшицевой минимизации исходную многомерную задачу

редуцируют к эквивалентной одномерной с использованием кривой Пеано, по-

строение которой выполняют по схеме Гильберта. Предположим, что критери-

альная функция удовлетворяет условию Липшица

 

( ) ( )

,

f x f x L x x

  

,

[ , ],

x x a b

(16)

с неизвестной константой

,

L

  

0

,

L

по эвклидовой норме. Тогда поиск ми-

нимума удовлетворяющей условию (16) функции

( ),

F x

R ,

n

x

на гиперкубе

эквивалентен определению (глобального) минимума одномерной функции

( )

f z

на единичном интервале [20]: