14 / 21
Оптимизация сингулярных чисел матриц, зависящих от параметров…
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 5
59
В фазе локального поиска для числа итераций
16
iter
N
найдено:
16
4
1
0,11595 10
x
;
16
5
2
0, 6713 10
x
;
16
5
( ) 0, 8233 10
f x
. Можно отметить
приемлемую точность полученного решения при относительно низкой вычис-
лительной стоимости, что подтверждает достаточно высокую эффективность
алгоритма.
Пример 2.
Дана прямоугольная матрица
( )
A x
размером
8 5 :
2
1
22 9
2 3 7
12
7 10 0 8
1 13 1 11 3
3
2 13 2 4
( )
.
9
8 1 2 4
9
1
7 5 1
2
6 6 5 1
4
5 0 2 2
x
x
A x
Здесь
2;
n
1;
j
a
5;
j
b
{ 1, 2}.
J
Требуется определить глобальное реше-
ние
*
,
x
при котором четвертое сингулярное число матрицы
*
( )
A x
достигает
минимума:
найти
2
R
min ( ),
x X
f x
4
( )
( ).
f x
x
Задача имеет точное решение
*
( ) 0,
f x
*
т
(2, 1) .
x
Следует отметить, что в
точке минимума критериальной функции имеет место
*
1
( ) 1248;
x
*
2
( )
x
20;
*
3
( ) 384 ;
x
*
4
( )
x
*
5
( ) 0.
x
Таким образом, сингулярный спектр
матрицы
( )
A x
содержит кратные сингулярные числа и минимизируемая функ-
ция является не всюду дифференцируемой. Приближенное решение получено с
использованием алгоритма M-PCASFCE. Изменение на единичном интервале
значений одномерной критериальной функции
( )
f z
показано на рис. 2,
а
: гло-
бальный минимум функции, соответствующий заданной плотности
6
m
раз-
вертки кривой Пеано,
1
*
( ) 0,185504 10
f z
определен при
*
0, 8498535.
z
Зависимость переменных управления
1
,
x
2
x
и функции
max
( ) ( )
,
F x f x f
где
1
max
( ) 0, 385219;
f
f x
1
x
— вектор переменных управления, соответству-
ющий
1,
m
представлена на рис. 2,
б
. Глобальный минимум функции
10
2
0, 20091 10
F x
реализуется для
10;
m
при этом найдены значения пе-
ременных управления
10
1
1, 99707
x
и
10
2
1, 00098,
x
которым соответствует зна-
чение критериальной функции
10
3
0, 77393 10 ;
f x
10
3
5
0, 77158 10 .
x
Отметим, что наибольшая относительная погрешность определения перемен-
ных управления не превышает
0,15
%. Получено приближенное решение экс-
тремальной задачи: искомый минимум критериальная функция достигает при