В.Б. Горяинов, Е.Р. Горяинова
10
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 6
1
4 (0)E ,
= 1, , ;
=
0,
= 1,
t
t
f
K t q
m
t q
и ковариациями (10).
Введем вектор
т
1
ˆ ˆ
ˆ
=( , , ) .
q
m
C c
c
Пусть
ˆ ˆ=( ),
ts
R R
где
ˆ
R
получается заменой в
R
неизвестных
0
0
1
, ,
q
оценками
1
ˆ
ˆ , ,
.
q
Статистикой критерия для про-
верки гипотезы
0
H
возьмем статистику
т 1
ˆ
ˆ ˆ .
C R C
Таким образом, можно сфор-
мулировать следующую теорему.
Теорема 2.
Если выполнены условия (3), то при гипотезе
0
H
статистика
т 1
ˆ
ˆ ˆ
C R C
асимптотически при
n
распределена как
2
с
m q
степенями
свободы, а при гипотезе
1
H
как нецентральный
2
с
m q
степенями свободы
и параметром нецентральности
т 1
1
1
( , ,
)
( , ,
).
q
m
q
m
R
Согласно теореме 2, проверить гипотезу
0
H
против альтернативной
гипотезы
1
H
можно с помощью статистики
т 1
ˆ
ˆ ˆ ,
C R C
отклоняя гипотезу
0
H
в
пользу гипотезы
1
H
на уровне значимости
,
если
т 1
2
1
ˆ ˆ ˆ > (
),
C R C m q
где
2
1
(
)
m q
— квантиль
2
-распределения
с
m q
степенями свободы. Кроме
того, знание распределения статистики
т 1
ˆ
ˆ ˆ
C R C
при альтернативной гипотезе
1
H
позволяет сравнивать эффективность этого критерия с другими критерия-
ми, как это видно из приведенного ниже примера.
Пример.
Сравним эффективность построенного знакового критерия с
классическим критерием, основанным на выборочном коэффициенте корреля-
ции. Пусть для простоты
= 0,
q
=1,
m
т. е. гипотеза
0
H
состоит в том, что
k
u
—
последовательность типа белого шума, а при альтернативной гипотезе
1
H
про-
цесс
k
u
подчиняется уравнению скользящего среднего первого порядка
1
=
, = 0, 1, 2,
i
i
i
K u
i
n
Если
k
u
удовлетворяет уравнению
1
=
,
= 0, 1, 2, ,
i
i
i
u
i
то вы-
борочный коэффициент корреляции
1
=2
2
=2
=
n
k k
k
n
n
k
k
u u
r
u
асимптотически нормален с математическим ожиданием
2
=
1
и дисперсией
2
2
4
=1 3 4 .
w
Обозначим
1
( )= (
).
n
n
T nw r
Статистика
( )
n
T
имеет
стандартное нормальное распределение. Классический критерий отклоняет гипоте-
зу
0
=
в пользу альтернативной гипотезы
0
на уровне значимости
,