Previous Page  7 / 12 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 7 / 12 Next Page
Page Background

В.Б. Горяинов, Е.Р. Горяинова

10

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 6

1

4 (0)E ,

= 1, , ;

=

0,

= 1,

t

t

f

K t q

m

t q

 

и ковариациями (10).

Введем вектор

т

1

ˆ ˆ

ˆ

=( , , ) .

q

m

C c

c

Пусть

ˆ ˆ=( ),

ts

R R

где

ˆ

R

получается заменой в

R

неизвестных

0

0

1

, ,

q

 

оценками

1

ˆ

ˆ , ,

.

q

 

Статистикой критерия для про-

верки гипотезы

0

H

возьмем статистику

т 1

ˆ

ˆ ˆ .

C R C

Таким образом, можно сфор-

мулировать следующую теорему.

Теорема 2.

Если выполнены условия (3), то при гипотезе

0

H

статистика

т 1

ˆ

ˆ ˆ

C R C

асимптотически при

n



распределена как

2

с

m q

степенями

свободы, а при гипотезе

1

H

как нецентральный

2

с

m q

степенями свободы

и параметром нецентральности

т 1

1

1

( , ,

)

( , ,

).

q

m

q

m

R

Согласно теореме 2, проверить гипотезу

0

H

против альтернативной

гипотезы

1

H

можно с помощью статистики

т 1

ˆ

ˆ ˆ ,

C R C

отклоняя гипотезу

0

H

в

пользу гипотезы

1

H

на уровне значимости

,

если

т 1

2

1

ˆ ˆ ˆ > (

),

C R C m q



 

где

2

1

(

)

m q



 

— квантиль

2

-распределения

с

m q

степенями свободы. Кроме

того, знание распределения статистики

т 1

ˆ

ˆ ˆ

C R C

при альтернативной гипотезе

1

H

позволяет сравнивать эффективность этого критерия с другими критерия-

ми, как это видно из приведенного ниже примера.

Пример.

Сравним эффективность построенного знакового критерия с

классическим критерием, основанным на выборочном коэффициенте корреля-

ции. Пусть для простоты

= 0,

q

=1,

m

т. е. гипотеза

0

H

состоит в том, что

k

u

последовательность типа белого шума, а при альтернативной гипотезе

1

H

про-

цесс

k

u

подчиняется уравнению скользящего среднего первого порядка

1

=

, = 0, 1, 2,

i

i

i

K u

i

n

  

 

Если

k

u

удовлетворяет уравнению

1

=

,

= 0, 1, 2, ,

i

i

i

u

i

  

 

то вы-

борочный коэффициент корреляции

1

=2

2

=2

=

n

k k

k

n

n

k

k

u u

r

u

асимптотически нормален с математическим ожиданием

2

=

1



и дисперсией

2

2

4

=1 3 4 .

w

   

Обозначим

1

( )= (

).

n

n

T nw r



Статистика

( )

n

T

имеет

стандартное нормальное распределение. Классический критерий отклоняет гипоте-

зу

0

=

 

в пользу альтернативной гипотезы

0

  

на уровне значимости

,