15 / 17
В.И. Горбачев
70
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 6
Случай двухслойной балки.
В частном случае двухслойной балки (см. рису-
нок), когда каждый слой представляет собой изотропный материал, компонен-
ты тензора модулей упругости определяют по формулам
2
1
1
2 2
2 1
2 1
( )
2
(
) (
)
2(
)
;
;
.
(1 )(1 2 )
2(1 )
ijkl
ij kl
ijkl
ij kl
ijkl
I I
I
I
I
I
I
I
C x
x x
E
E
(54)
Здесь
1 1
1 1
, ,
,
E
—
параметры Ламе, модуль Юнга и коэффициент Пуассона
материала первого слоя, для которого
2 2
2
2
/ 2;
/ 2
x x h
h
2 2
2 2
,
,
,
E
—
соответствующие величины второго слоя, для которого
2
2 2 2
/ 2
/ 2;
h x x h
2 2
(
)
x x
—
функция Хевисайда [11].
Отметим еще одну особенность предлагаемой теории: в однородном случае
все
N
-функции обращаются в нуль и перемещения определяют по формуле (19)
в соответствии с гипотезой плоских сечений. Для того чтобы и напряжения в
однородном случае соответствовали теории балки Бернулли — Эйлера, необхо-
димо в уравнениях (45) под матрицей модулей упругости понимать модифици-
рованную матрицу, в которой коэффициент
3333
3
,
C E
где
3
E
— модуль Юнга
в направлении оси стержня.
ЛИТЕРАТУРА
1.
Победря Б.Е.
Лекции по тензорному анализу. М.: Изд-во МГУ, 1979. 223 с.
2.
Горбачев В.И.
Метод тензоров Грина для решения краевых задач теории упругости
неоднородных сред
// Вычислительная механика деформируемого твердого тела. 1991.
№ 2. С. 61–76.
3.
Горбачев В.И.
Осреднение линейных задач механики композитов при непериодиче-
ской неоднородности // Известия РАН. МТТ. 2001. № 1. С. 31–37.
4.
Горбачев В.И.
Интегральные формулы в связанной задаче термоупругости.
Применение в механике композитов // ПММ. 2014. T. 78. Вып. 2. С. 277–299.
5.
Новацкий В.
Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.
6.
Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П.
Осреднение процессов в периодических средах.
М.: Наука, 1984. 352 с.
7.
Ильюшин А.А., Ленский В.С.
Сопротивление материалов. М.: Физматгиз, 1959. 372 с.
8.
Феодосьев В.И.
Сопротивление материалов. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999.
560 с.
9.
Работнов Ю.Н
. Сопротивление материалов. М.: Физматгиз, 1962. 456 с.
10.
Победря Б.Е.
Механика композиционных материалов. М.: Изд-во МГУ, 1984. 336 с.
11.
Кеч В., Теодореску П.В.
Введение в теорию обобщенных функций с приложениями в
технике. М.: Мир, 1978. 518 с.
Горбачев Владимир Иванович
— д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры механики
композитов Механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова (Россий-
ская Федерация, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1), профессор-консультант ООО
«ФИДИС».