13 / 17
В.И. Горбачев
68
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 6
ными уравнениями, которые легко интегрируются в общем виде. Первое из урав-
нений (45) имеет вид
2 2 33,2
233 ,2
0.
i m m i
C N C
Откуда и из условия перио-
дичности и условия нормировки
33 2
33 2
( / 2)
( / 2),
m
m
N h
N h
33
0
m
N
получаем
2
2
1
1 1 1
33 2
233
233
2 2
2 2
2 2
/2
( )
( )
( )
x
m
l
n
m n
n k
k l
h
N x
C y C C C C y dy
2
1
1 1 1
233
233
2 2
2 2
2 2
/2
( )
( )]
,
y
l
n
m n
n k
k l
h
C z C C C C z dz
(47)
где
1
2 2
m n
C
— элемент матрицы, обратной к матрице
2 2
(
),
m n
C
2
2
1
1212
1222
1232
1
2212
2222
2232
2 2
3212
3222
3232
/2
2
2 2
2 1 2
2
2 /2
(
)
;
1
1
( )
( )
( )
( ) .
m n
h
F
h
F
C C C
C
C C C
C C C
x
x dx
x dx dx
x
h
F
По формулам (29) и (46) находим коэффициенты
33
ij
C
и
33
:
o
ij
C
1
1
1
1
1
33
33
2
233
2
233
2 2 2 2
2 2
2 2
1
1
1
1
1
33
2
233
2
233
2 2
2 2
2 2
2 2
33
;
.
ij
ij
ijm
q
ijm
n
m n n p
p q
m n
o
ij
ijm
q
ijm
n
m n
n p
p q
m n
ij
C C C C C
C C C C C
C C C C C
C C C C C
(48)
Из формул (48) следует, что
233
i
C
есть постоянные величины
233
i
C
1 1 1
233
2 2
2 2
233
.
q
i
p
o
i
p
q
C C C C
В
ортотропном материале
отлична от нуля только
одна структурная функция с тремя индексами, т. е.
133
333
0,
N N
а
233 2
( )
N x
2
2
2
1
0
1
0
2233
2233
2222
2233
2222
2233
/2
/2
( )
( )
( )
( )
.
y
x
h
h
C y C C y dy
C z C C z dz
(49)
Далее из уравнений (45) и условий, аналогичных условиям для функций
33
,
m
N
определим функции
33
.
m K
N
После первого интегрирования имеем
2
2
2
1
1 1
1
33
33
2 2
2 2
2 2
33
33
/2
1
1
3
1 1
2
3 ,2 2
2
33
2
33
2 2
2 2
2 2
/2
2
2
2
( )
(
( )
( )
( )
(
)
.
)
( )
(
)
(
)
y
o
o
nK
qK
m n
n p
p q
nK
qK
h
n rK
r
q r
m
K r
m n
n p
p q
K
x
h
N x
x
x
C
C C y dy C
C
C C z dz
C
C x
x N
C C C N
Из этой формулы, в частности, получим
332,2
2 233
.
m
m
N
N
В
ортотропном
случае
из функций
331,2
m
N
отлична от нуля только одна функция: