Previous Page  2 / 12 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 2 / 12 Next Page
Page Background

Темная материя как эффект фрактальности топологической структуры пространства

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 6

111

степеней

) ,

( /

n

Pl

L

где

L

— характерный масштаб изменения поля;

Pl

— план-

ковский масштаб), то о вторых трудно что-либо утверждать. Можно лишь усо-

мниться в том, что огромное многообразие проявлений ТМ удастся «уместить»

в какую-либо модификацию теории тяготения.

Приемлемый ответ на вопрос о природе ТМ дают модели квантовой грави-

тации на решетке [4–6]. На планковских масштабах пространственно-

временная пена обладает фрактальными свойствами. В частности, численный

расчет [6] показывает, что спектральная размерность пространства изменяется

от значения

3 / 2

D

на очень малых субпланковских масштабах до

4

D

на

больших (макроскопических) расстояниях.

Фрактальную структуру можно описать следующим образом. Рассмотрим

произвольную точку (событие)

x

в пространстве (пространстве–времени) и за-

фиксируем геодезическое расстояние

,

R

а также объем

1

части пространства

 

Ω ,

x

R

которая попадает внутрь геодезического шара

 

,

.

d x y R

Однород-

ность пены означает следующее: среднее значение

 

 

Ω Ω

x

R R

не зависит

от положения центра шара

x

. Тогда зависимость от радиуса

 

Ω

H

D

R R

опре-

деляет хаусдорфову размерность пространства

.

H

D

Начальная точка

x

и пучок

исходящих из нее геодезических линий, имеющих все возможные направления

2

,

задают так называемую экстраполированную систему координат. Именно такую

систему координат и используют в астрофизике. Координатный объем в подоб-

ной системе всегда имеет размерность

4,

D

что отражает простой факт: в тео-

рии гравитации пространство локально (псевдо) евклидово. Такая оценка рабо-

тает и для всех пространств, обладающих простой (евклидовой) топологией.

Однако при наличии кротовых нор для достаточно больших радиусов

R

часть

геодезических линий возвращаются и начинают покрывать ту же самую физи-

ческую область пространства

 

Ω .

R

С математической точки зрения это озна-

чает, что система координат просто перестает работать и необходимо вводить

новый локальный атлас. Кроме того, часть пучка геодезических линий, проходя

через горловину кротовой норы, может начать покрывать весьма удаленную

(или даже несвязанную с исходной) область пространства–времени. Тем самым

определенная указанным способом размерность может быть как больше, так и

меньше четырех, но

4.

H

D

Какая конкретно получается размерность, зависит

от масштаба

R

и от распределения кротовых нор.

__________________ 

1

В квантовой гравитации пространственно-временная пена описывает виртуальные

изменения топологии, происходящие под потенциальным барьером. Соответственно, время

для таких конфигураций является мнимым, а пространство–время имеет евклидову сигнату-

ру. В случае лоренцевой сигнатуры геодезический шар не ограничивает конечного объема и

приведенное здесь описание необходимо изменить (например, исключить время, рассматри-

вая сечения

const).

t

2

В том числе и пространственно подобные геодезические линии.