Темная материя как эффект фрактальности топологической структуры пространства

2 / 12

Темная материя как эффект фрактальности топологической структуры пространства
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 6 111
степеней ) , ( / n
Pl L  где L — характерный масштаб изменения поля; Pl  — план-
ковский масштаб), то о вторых трудно что-либо утверждать. Можно лишь усо-
мниться в том, что огромное многообразие проявлений ТМ удастся «уместить»
в какую-либо модификацию теории тяготения.
Приемлемый ответ на вопрос о природе ТМ дают модели квантовой грави-
тации на решетке [4–6]. На планковских масштабах пространственно-
временная пена обладает фрактальными свойствами. В частности, численный
расчет [6] показывает, что спектральная размерность пространства изменяется
от значения 3 / 2 D  на очень малых субпланковских масштабах до 4 D  на
больших (макроскопических) расстояниях.
Фрактальную структуру можно описать следующим образом. Рассмотрим
произвольную точку (событие) x в пространстве (пространстве–времени) и за-
фиксируем геодезическое расстояние , R а также объем1 части пространства
  Ω ,x R которая попадает внутрь геодезического шара  , . d x y R Однород-
ность пены означает следующее: среднее значение     Ω Ωx R R не зависит
от положения центра шара x. Тогда зависимость от радиуса   Ω H D R R опре-
деляет хаусдорфову размерность пространства .
H D Начальная точка x и пучок
исходящих из нее геодезических линий, имеющих все возможные направления2,
задают так называемую экстраполированную систему координат. Именно такую
систему координат и используют в астрофизике. Координатный объем в подоб-
ной системе всегда имеет размерность 4, D  что отражает простой факт: в тео-
рии гравитации пространство локально (псевдо) евклидово. Такая оценка рабо-
тает и для всех пространств, обладающих простой (евклидовой) топологией.
Однако при наличии кротовых нор для достаточно больших радиусов R часть
геодезических линий возвращаются и начинают покрывать ту же самую физи-
ческую область пространства   Ω .R С математической точки зрения это озна-
чает, что система координат просто перестает работать и необходимо вводить
новый локальный атлас. Кроме того, часть пучка геодезических линий, проходя
через горловину кротовой норы, может начать покрывать весьма удаленную
(или даже несвязанную с исходной) область пространства–времени. Тем самым
определенная указанным способом размерность может быть как больше, так и
меньше четырех, но  4.
H D Какая конкретно получается размерность, зависит
от масштаба R и от распределения кротовых нор.
__________________
1 В квантовой гравитации пространственно-временная пена описывает виртуальные
изменения топологии, происходящие под потенциальным барьером. Соответственно, время
для таких конфигураций является мнимым, а пространство–время имеет евклидову сигнату-
ру. В случае лоренцевой сигнатуры геодезический шар не ограничивает конечного объема и
приведенное здесь описание необходимо изменить (например, исключить время, рассматри-
вая сечения const). t 
2 В том числе и пространственно подобные геодезические линии.