Темная материя как эффект фрактальности топологической структуры пространства
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 6
111
степеней
) ,
( /
n
Pl
L
где
L
— характерный масштаб изменения поля;
Pl
— план-
ковский масштаб), то о вторых трудно что-либо утверждать. Можно лишь усо-
мниться в том, что огромное многообразие проявлений ТМ удастся «уместить»
в какую-либо модификацию теории тяготения.
Приемлемый ответ на вопрос о природе ТМ дают модели квантовой грави-
тации на решетке [4–6]. На планковских масштабах пространственно-
временная пена обладает фрактальными свойствами. В частности, численный
расчет [6] показывает, что спектральная размерность пространства изменяется
от значения
3 / 2
D
на очень малых субпланковских масштабах до
4
D
на
больших (макроскопических) расстояниях.
Фрактальную структуру можно описать следующим образом. Рассмотрим
произвольную точку (событие)
x
в пространстве (пространстве–времени) и за-
фиксируем геодезическое расстояние
,
R
а также объем
1
части пространства
Ω ,
x
R
которая попадает внутрь геодезического шара
,
.
d x y R
Однород-
ность пены означает следующее: среднее значение
Ω Ω
x
R R
не зависит
от положения центра шара
x
. Тогда зависимость от радиуса
Ω
H
D
R R
опре-
деляет хаусдорфову размерность пространства
.
H
D
Начальная точка
x
и пучок
исходящих из нее геодезических линий, имеющих все возможные направления
2
,
задают так называемую экстраполированную систему координат. Именно такую
систему координат и используют в астрофизике. Координатный объем в подоб-
ной системе всегда имеет размерность
4,
D
что отражает простой факт: в тео-
рии гравитации пространство локально (псевдо) евклидово. Такая оценка рабо-
тает и для всех пространств, обладающих простой (евклидовой) топологией.
Однако при наличии кротовых нор для достаточно больших радиусов
R
часть
геодезических линий возвращаются и начинают покрывать ту же самую физи-
ческую область пространства
Ω .
R
С математической точки зрения это озна-
чает, что система координат просто перестает работать и необходимо вводить
новый локальный атлас. Кроме того, часть пучка геодезических линий, проходя
через горловину кротовой норы, может начать покрывать весьма удаленную
(или даже несвязанную с исходной) область пространства–времени. Тем самым
определенная указанным способом размерность может быть как больше, так и
меньше четырех, но
4.
H
D
Какая конкретно получается размерность, зависит
от масштаба
R
и от распределения кротовых нор.
__________________
1
В квантовой гравитации пространственно-временная пена описывает виртуальные
изменения топологии, происходящие под потенциальным барьером. Соответственно, время
для таких конфигураций является мнимым, а пространство–время имеет евклидову сигнату-
ру. В случае лоренцевой сигнатуры геодезический шар не ограничивает конечного объема и
приведенное здесь описание необходимо изменить (например, исключить время, рассматри-
вая сечения
const).
t
2
В том числе и пространственно подобные геодезические линии.