7 / 12
А.А. Кириллов, Е.П. Савелова
116
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 6
Для случае однородного газа кротовых нор в линейном приближении
функция смещения была впервые вычислена в работе [12] (более общий случай
рассмотрен в работе [16]) и имеет вид
2
4 2
0 .
b k nR k
k
Здесь
n
— плотность горловин кротовых нор;
R
— среднее эффективное значе-
ние радиуса горловины
4
;
k
— преобразование Фурье функции распределе-
ния по расстояниям между различными выходами из кротовой норы (функция
нормирована так, что
3
1).
X d X
Таким образом, истинная функция Грина,
содержащая поправки, имеет вид
2
2
4
0
4 1 2
.
k
G k
nR
k
k
Пусть все расстояния между выходами из кротовых нор одинаковы и име-
ют значение
0
,
r
тогда получим изотропное распределение вида
1 2
0
0
4
,
X r
X r
а в преобразовании Фурье найдем
0
3
0
sin
.
ikX
kr
k
X e d X
kr
Тогда функция смещения примет вид
0
2
0
4
sin
2
1
.
kr
b k
nR
k
kr
Для малых значений
0
1
kr
имеем
2
2
0
0
4
3!
1
... .
3
5!
b k
nRr
kr
Первый
член этого разложения соответствует перенормировке гравитационной посто-
янной, в то время как все последующие члены описывают поправки к закону
Ньютона.
На первый взгляд, приведенное выше разложение, описывает достаточно
общий случай. Действительно, рассмотрим дополнительное распределение по
расстояниям
0
r
с произвольной плотностью вероятности
.
p x
Тогда то же са-
мое разложение будет работать и для средних величин
2
0
0
0
1
sin
,
2 1 !
n
n
kr
kr
kr
n
что соответствует простой замене
2
2
0
0
n
n
r
r
. Однако такая замена возможна
только тогда, когда все моменты имеют конечные значения. В частности, такая си-
__________________
4
Отметим, что устойчивые горловины имеют форму тора, а величина
2
R
характеризу-
ет площадь сечения горловины.