поэтому
δ
(
pdq
−
H
(
q, p
)
dt
) =
δ
(
σd
−
¯
H
(
, σ
)
dt
) = 0
,
(2)
где
¯
H
(
, σ
)
— гамильтониан системы после преобразования (1).
Частным случаем преобразования (1) является действие матриц
вращения группы SO
(
R
)
cos
θ
sin
θ
−
sin
θ
cos
θ
,
где
θ
∈
R
/
2
π
Z
— угол поворота.
В таком случае преобразование (1) является поворотом фазового
пространства на угол
θ
, а в общем случае (1) — это поворот фаз ового
пространства с взаимным масштабированием по осям
p
и
q
.
Симплектическая томограмма
T
(
, μ, η
)
наблюдаемой , которая
является линейной комбинацией квадратурных компонент
=
μq
+
ηp,
определяется черезволновую функцию
T
(
, μ, η
) =
|F
μ,η
[
ψ
]( )
|
2
,
где
F
μ,η
— линейный унитарный оператор. Таким линейным унитар-
ным оператором является интегральный оператор дробного преобра-
зования Фурье
T
(
, μ, η
) =
1
2
π
|
η
|
ψ
(
x
) exp
iμ
2
η
x
2
−
i
η
x dx
2
,
(3)
где
x
— обобщенная координата.
Исходя изопределения (3) томограмма
T
(
, μ, η
)
представляет со-
бой положительную нормированную и однородную (c порядком
−
1
)
функцию:
T
(
, μ, η
)
≥
0
,
T
(
, μ, η
)
d
= 1
,
T
(
, μ, η
) =
|
λ
|T
(
λ , λμ, λη
);
λ
— произвольная постоянная.
Свойство однородности позволяет записать для томограммы урав-
нение Эйлера
∂
T
∂
+
∂
T
∂μ
μ
+
∂
T
∂η
η
=
−T
.
(4)
Решение уравнения (4) имеет вид
T
f
(
, μ, η
) =
1
|
μ
|
f
μ
,
η
μ
,
где
f
— произвольная функция.
30
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 2
