Для гармонического осциллятора
V
(
x
) =
x
2
2
,
∂
T
∂t
−
μ
∂
T
∂η
+
η
∂
T
∂μ
= 0
.
(13)
Для параметрического осциллятора с частотой
ω
(
t
)
∂
T
∂t
−
μ
∂
T
∂η
+
ω
2
(
t
)
η
∂
T
∂μ
= 0
.
(14)
Как уже было отмечено, томограмма представляет собой решение
уравнения Фоккера–Планка. Поэтому формула (8) позволяет искать ре-
шение уравнения (11) с учетом связи между томограммой и волновой
функцией (3). Задачи о представлении решения для данного уравнения
рассматривались ранее в работах [15, 16], потому что существует его
тесная связь с формулировкой Фейнмана интегралов по траекториям
и представлением решения уравнения Шр¨едингера [17, 18].
Решение уравнения Фоккера–Планка для гармонического ос-
циллятора.
В качестве примера представим с помощью найденной
формулы (8) решение уравнения Фоккера–Планка для гармонического
осциллятора (13). Как известно [12], функция Грина имеет вид
G
(
x
2
, x
1
, t
) =
1
√
2
πi
sin
t
exp
i
[(
x
2
1
+
x
2
2
) cos
t
−
2
x
1
x
2
]
2 sin
t
.
(15)
Запишем решение уравнения Фоккера–Планка для функции Грина
(15) как
T
(
, μ, η
) =
1
2
π
|
η
|
dx
2
exp
iμ
2
η
x
2
2
−
i
η
x
2
dx
1
ψ
0
√
2
πi
sin
t
×
×
exp
i
[(
x
2
1
+
x
2
2
) cos
t
−
2
x
1
x
2
]
2 sin
t
2
.
(16)
Вычислив
P
-функцию уравнения (16), можно получить волновые
функции осциллятора. В общем случае решение имеет вид
T
n
(
, μ, η
) =
2
−
n
n
!
π
(
μ
2
+
η
2
)
exp
−
2
μ
2
+
η
2
H
2
n
μ
2
+
η
2
,
(17)
где
H
n
(
x
)
— полиномы Эрмита.
Например, томограмма основного состояния осциллятора
T
0
(
, μ, η
) =
1
π
(
μ
2
+
η
2
)
exp
−
2
μ
2
+
η
2
.
(18)
Томограмма
T
1
первого возбужденного состояния может быть легко
вычислена:
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 2
35
