Монте-Карло [10, 11]. При этом функция Грина обладает свойством
G
(
x
2
, x
1
, t
2
−
t
1
) = 0
∀
t
1
≥
t
2
.
В работе Фейнмана [12] показано, что при переходе
(
x
1
, t
1
)
→
(
x
2
, t
2
)
функция Грина
G
(
x
2
, x
1
, t
2
−
t
1
)
может рассматриваться как интеграл
по траекториям
G
(
x
2
, x
1
, t
2
−
t
1
) =
Ω
exp(
iS
(
x
2
, x
1
))
D
[
x
(
t
)]
,
(6)
где
S
(
x
2
, x
1
)
— функционал действия, инвариантный относительно ка-
нонических преобразований (1) [13]; под
D
[
x
(
t
)]
поздразумевается ин-
тегрирование по конфигурационному пространству
Ω
функций
x
(
t
)
.
В настоящей работе рассматриваются линейные канонические пре-
образования фазового пространства. Поэтому будет использована га-
мильтонова формулировка интегралов по траекториям — интегралы
по фазовому пространству обобщенных координат
x
= (
x
1
, . . . , x
n
)
и
импульсов
p
= (
p
1
, . . . , p
n
)
. Впервые подобная концепция изложена в
работе [14].
Предполагается, что задан гамильтониан системы
H
H
=
p
2
2
+
V
(
x
)
.
В силу справедливости вариационного принципа (2) интеграл
I
= (
p
˙
x
−
H
)
dt
принимает экстремальное значение. Его можно представлять в виде
I
=
p
˙
x
−
p
2
2
−
V
(
x
)
dt
=
N
j
=1
p
j
Δ
x
j
−
p
2
j
2
Δ
t
j
−
t
j
t
j
−
1
V
(
x
)
dt .
Воспользуемся известными формулами [14]
p
j
Δ
x
j
−
p
2
j
2
Δ
t
j
=
−
Δ
t
j
2
p
j
−
Δ
x
j
Δ
t
j
2
+
1
2
Δ
x
2
j
Δ
t
j
.
Пусть
β
j
=
p
j
−
Δ
x
j
Δ
t
j
.
Вычислим интеграл Эйлера–Пуассона
∞
−∞
exp
i
−
Δ
t
j
2
β
2
j
d
3
β
j
=
−
2
πi
Δ
t
j
3
/
2
.
32
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 2
