Функцию
P
можно, как и функцию Грина, представить в виде
интеграла Фейнмана
P
(
, μ, η
) =
2
1
exp
iS
+
iμ
2
η
x
2
2
−
i
η
x
2
D
[
x
(
t
)]
dx
2
и з аписать рез ультат (8) как
T
(
, μ, η
) =
1
2
π
|
η
|
P
(
, μ, η
)
ψ
(
x
)
dx
2
.
Полученный результат предполагает следующую физическую
интерпретацию: если известны начальное условие для уравнения
Шр¨едингера и гамильтониан системы, то результат гомодинного де-
тектирования (экспериментальное измерение томограммы) в экспери-
ментах типа [1, 2] выражается черезуравнение (8).
Применяя неравенство Коши–Буняковского–Шварца можно полу-
чить следующую оценку:
T
(
, μ, η
)
≤
1
2
π
|
η
|
|P
(
, μ, η
)
|
2
dx .
(9)
Благодаря свойствам томограммы
T
(
, μ, η
)
условие нормировки
можно сформулировать в общем виде:
1
2
π
|
η
|
P
(
, μ, η
)
ψ
(
x
)
dx
2
d
= 1
.
(10)
Представление решения уравнения Фоккера–Планка.
Ограни-
чимся общей классификацией эволюционных уравнений для томо-
грамм. Эволюционное уравнение для симплектической томограммы
T
(
, μ, η
)
c гамильтонианом
H
=
p
2
2
+
V
(
x
)
,
( =
ω
=
m
= 1)
имеет вид обобщенного уравнения Фоккера–Планка [3]
∂
T
∂t
=
μ
∂
T
∂η
−
i
−
V
−
I
∂
∂μ
−
iη
2
∂
∂
−
V
−
I
∂
∂μ
+
iη
2
∂
∂
T
,
(11)
где
I
— оператор интегрирования по переменной .
Изуравнения (11) для свободной частицы получим дифференци-
альное уравнение первого порядка
∂
T
∂t
−
μ
∂
T
∂η
= 0
.
(12)
34
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 2
