УДК 530.145.1
А. К. Ф е д о р о в, С. О. Ю р ч е н к о
СИМПЛЕКТИЧЕСКИЕ ТОМОГРАММЫ
В ПРЕДСТАВЛЕНИИ ФЕЙНМАНОВСКИМИ
ИНТЕГРАЛАМИ ПО ТРАЕКТОРИЯМ
Получено представление симплектической томограммы через ин-
теграл Фейнмана по траекториям в фазовом пространстве
T
(
, μ, η
) =
=
1
2
π
|
η
|
D
[
x
(
t
)] exp
i S
+
μ
2
η
x
2
2
−
η
x
2
ψ
(
x
1
)
dx
1
dx
2
2
.
Показано, что предлагаемый метод позволяет находить решения
для эволюционного уравнения Фоккера–Планка в континуальных ин-
тегралах. Найдены квантовые томограммы гармонического осцил-
лятора.
E-mail:
Ключевые слова
:
квантовая томография, уравнение Шр¨едингера, инте-
грал Фейнмана.
В настоящее время активно развивается новый подход к кванто-
вой механике, основанный на использовании неотрицательных функ-
ций распределения вероятности — симплектических томограмм [1–9].
Они представляют интерес, поскольку могут быть измерены экспе-
риментально в квантово-оптических экспериментах [1, 2]. При этом
томографическая формулировка эквивалентна другим известным на
сегодняшний день формулировкам квантовой механики, а томограм-
ма связана с различными функциями квазираспределений, например:
W
-функцией Вигнера [4, 5],
P
-функцией Глаубера–Сударшана [6, 7],
Q
-функцией Хусими–Кано [8].
Томографическое представление квантовой механики использует
линейное каноническое преобразование фазового пространства как
действие симплектической группы SP
2
(
R
)
:
σ
=
μ η
´
η
´
μ
q
p
,
(1)
где
q, p
и ,
σ
— обобщенные координаты и импульсы,
μ
,
´
μ
,
η
,
´
η
—
произвольные действительные постоянные с условием
μ
´
μ
−
η
´
η
= 1
.
Преобразование (1) является каноническим. По определению оно
сохраняет невырожденные кососимметрические билинейные формы:
скобку Пуассона в классическом случае и коммутатор — в квантовом.
В классическом случае отсюда следует, что уравнения Гамильтона
выполнены как для новых ,
σ
, так и для старых переменных
q
и
p
.
Уравнения Гамильтона следуют изпринципа наименьшего действия,
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 2
29
