Решение уравнения Эйлера для томограммы позволяет снизить ее
размерность. Несмотря на то, что томограмма является функцией трех
переменных, благодаря нормировке ее представление возможно через
функцию двух переменных. Подобные функции называются томограм-
мами Френеля.
Целью данной работы является представление симплектической
томограммы черезинтеграл Фейнмана по траекториям. Предложен-
ный ранее метод классического пропагатора [9] требует знания началь-
ного распределения вероятности. Это является существенным услож-
нением, поскольку такой формализм предполагает измерения как на-
чального, так и конечного состояния системы. Технически, с учетом
особенностей экспериментальной реализации [1, 2], это означает ан-
самблевые измерения начального и конечного состояний. В случае
использования некоторой модельной волновой функции и предлагае-
мого метода становится достаточно однократного измерения.
Пусть эволюция рассматриваемой квантово-механической систе-
мы происходит согласно уравнению Шр¨едингера. Рассмотрим задачу
Коши для уравнения Шр¨едингера
−
1
2
Δ
ψ
(
x, t
) +
V
(
x
)
ψ
(
x, t
) =
i
∂
∂t
ψ
(
x, t
);
ψ
(
x, t
)
t
=0
=
ψ
0
(
x
)
,
m
= = 1;
волновые функции
ψ
(
x, t
)
будем рассматривать с учетом стандартного
условия нормировки
|
ψ
(
x, t
)
|
2
dx
= 1
.
Хорошо известно, что прямое решение задачи Коши для уравне-
ния Шр¨едингера в его дифференциальной форме возможно только
лишь для небольшого числа частиц. Поэтому по сути единственным
способом исследования квантовых систем с большим числом частиц
являются численные методы.
Для произвольных моментов времени
t
1
и
t
2
справедливо соотно-
шение
ψ
(
x
2
, t
2
) =
G
(
x
2
, x
1
, t
2
−
t
1
)
ψ
(
x
1
, t
1
)
dx
1
,
(5)
где
G
(
x
2
, x
1
, t
2
−
t
1
)
— функция Грина уравнения Шр¨едингера.
Функция Грина
G
(
x
2
, x
1
, t
2
−
t
1
)
представляет собой амплитуду
перехода изначального состояния с волновой функцией
ψ
(
x
1
, t
1
)
в со-
стояние с волновой функцией
ψ
(
x
2
, t
2
)
. Таким образом, задача Коши
для дифференциального уравнения Шр¨едингера свелась к интеграль-
ному уравнению (5), которое решается численно, например, методом
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 2
31
