определяемые как точка минимума функции
L
LS
(
a
) =
m
X
i
=1
n
X
j
=1
(
X
ij
−
a
10
X
i
−
1
,j
−
a
01
X
i,j
−
1
−
a
11
X
i
−
1
,j
−
1
)
2
.
(2)
На практике, однако, предположение о гауссовости
ε
ij
(а значит,
и
X
ij
) обычно нарушается из-за грубых ошибок в измерении
X
ij
[3]. С помощью компьютерного моделирования было показано, что
в этом случае оценки наименьших квадратов уступают в эффектив-
ности знаковым и ранговым оценкам, оценкам наименьших модулей,
М-оценкам и обобщенным М-оценкам [4–8].
В данной работе вводятся теоретические характеристики устойчи-
вости оценок к засорению наблюдений грубыми ошибками, которые
вычисляются для М-оценок, обобщенных М-оценок, оценок наимень-
ших модулей и оценок наименьших квадратов параметра
a
. Подтвер-
ждается вывод о предпочтительности обобщенных М-оценок при за-
сорении наблюдений грубыми ошибками.
Постановка задачи.
М-оценки параметра
a
по наблюдениям
X
ij
,
i
= 1
, . . . , m
,
j
= 1
, . . . , n
, определяются [7] как точка минимума
функции
L
M
(
a
) =
m
X
i
=1
n
X
j
=1
ρ
(
X
ij
−
a
10
X
i
−
1
,j
−
a
01
X
i,j
−
1
−
a
11
X
i
−
1
,j
−
1
)
,
(3)
где, например,
ρ
H
(
x
) =
(
x
2
,
если
|
x
| ≤
k,
2
k
|
x
| −
k
2
,
если
|
x
|
> k,
(4)
— семейство функций Хьюбера [9, 10],
k >
0
, или
ρ
T
(
x
) =
1
−
1
−
x
k
2 3
,
если
|
x
| ≤
k,
1
,
если
|
x
|
> k,
— семейство функций, называемое бивесом Тьюки [9, 10],
k >
0
.
Рекомендации по выбору
ρ
(
x
)
имеются в [9, 10]. В частности, если
ρ
(
x
) =
x
2
, то получаются оценки наименьших квадратов, а если
ρ
(
x
) =
|
x
|
— оценки наименьших модулей.
Пусть плотность
f
случайных величин
ε
ij
является смесью двух
гауссовских плотностей:
f
(
x
) = (1
−
γ
)
1
√
2
πσ
1
e
−
x
2
2
σ
2
1
+
γ
1
√
2
πσ
2
e
−
x
2
2
σ
2
2
,
0
< γ <
1
,
(5)
имитирующих появление с небольшой вероятностью
γ
среди
ε
ij
,
D
ε
ij
=
σ
2
1
, величин с аномально большой диспрсией
σ
2
2
,
σ
2
2
σ
2
1
.
4
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 4
