Оценка наименьших модулей — точка минимума функции
L
LD
(
a
) =
m
X
i
=1
n
X
j
=1
|
X
ij
−
a
10
X
i
−
1
,j
−
a
01
X
i,j
−
1
−
a
11
X
i
−
1
,j
−
1
|
или, что равносильно, решение уравнения
L
LD
(
a
) = 0
, где
L
LD
(
a
) =
m
X
i
=1
n
X
j
=1
ψ X
ij
−
˜
X
T
ij
a g
ij
( ˜
X
)
.
Оценка наименьших модулей — частный случай М-оценки при
ρ
(
x
) =
|
x
|
или
ψ
(
x
) = sign(
x
)
, где
sign(
x
) =
(
1
,
если
x
≥
0
,
−
1
,
если
x <
0
.
Отметим, что
sign(
x
) = 1
−
2
I
(
{
x <
0
}
)
,
где
I
(
A
)
— индикаторная функция множества
A
. Обозначим через
A
ζ
σ
-алгебру, порожденную случайной величиной
ζ
ij
. Воспользовавшись
формулой полного математического ожидания, получим
E
[
ζ
ij
sign(
ε
11
−
a
(0)
ij
ζ
ij
)] =
E E
[
ζ
ij
sign(
ε
11
−
a
(0)
ij
ζ
ij
)
|
A
ζ
] =
=
E
ζ
ij
E
[sign(
ε
11
−
a
(0)
ij
ζ
ij
)
|
A
ζ
] =
E
ζ
ij
E
[1
−
2
F
ε
(
a
(0)
ij
ζ
ij
)]
.
Отметим, что
E
[
ψ
0
(
ε
11
)] = 2
f
ε
(0)
. Поэтому формула (16) превра-
щается в
IF
(
a
(
δ
)
, F
ζ
) =
1
2
f
ε
(0)
B
−
1
(
e
01
, e
10
, e
00
)
T
,
(17)
где
e
ij
=
E
(
ζ
ij
E
[1
−
2
F
ε
(
a
(0)
ij
ζ
ij
)]
, а
F
ε
— функция распределения слу-
чайных величин
ε
ij
.
Найдем функционал влияния для оценки наименьших квадра-
тов. Оценка наименьших квадратов является точкой минимума (3) с
ρ
(
x
) =
x
2
или, что эквивалентно, решением (9) с
ψ
(
x
) =
x
,
g
(
x
) =
x
.
Подставляя в (15)
ψ
(
x
) =
x
,
g
(
x
) =
x
, учитывая независимость
ε
11
от
ζ
ij
, а также, что
E
[
ε
ij
] = 0
,
E
[
ψ
0
(
ε
11
)] = 1
, получаем
IF
(
a
(
δ
)
, F
ζ
) =
E
[
ζ
2
00
]
B
−
1
a
(0)
01
, a
(0)
10
, a
(0)
00
T
,
(18)
где
B
— ковариационная матрица вектора
(
X
01
, X
10
, X
00
)
.
Сравнение (17) и (18) показывает, что оценки наименьших мо-
дулей предпочтительнее оценок наименьших квадратов, поскольку
IF
(
a
(
δ
)
, F
ζ
)
в (17) линейно зависит от
ζ
ij
, а в (18) — квадратично.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 4
11
